UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваРізницеві лінійні рівняння (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2113
Скачало264
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Різницеві лінійні рівняння

 

При використанні ПЕОМ усі неперервні за часом процеси дискретизуються.

Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних

аргументів, бо цифрова машина може діяти тільки з числами. При цьому від

диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема,

економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць,

рік і т. п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь.

Наведемо основні положення про лінійні різницеві рівняння зі сталими

коефіцієнтами.

 

Оператор зсуву

 

Введемо символічний оператор S, дія якого на функцію у(х) полягає в

збільшенні значення аргументу на сталу величину h(h > 0):

 

. (8.67)

 

Оператор S називається оператором зсуву. У загальному випадку рівність

 

. (8.68)

 

Приклад. Справджуються такі рівності:

 

,

 

.

 

.

 

.

 

яку можна записати у вигляді символічної формули:

 

(8.69)

 

У подальшому проводимо дискредитацію аргументу х, беручи

 

(8.70)

 

Із попередніх формул (8.67) — (8.70) дістаємо рівність

 

 

На практиці користуємось функціями від оператора зсуву

 

, (8.71)

 

які називаються операторами спадної і зростаючої різниць.

 

.

 

Із формули

 

, (8.72)

 

використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо формулу для операторів

(k, що називаються спадними різницями порядку k

 

 

Аналогічні формули можна дістати для додатних степенів оператора зсуву S

через степені оператора (.

 

(8.73)

 

Звідси знаходимо формули:

 

 

Зауважимо, що різниці k-го порядку від многочлена k-го порядку є

сталими.

 

при x0 = 0, h =1 (табл. 8.2):

 

Таблиця 8.2

 

xn yn (yn (2yn (3yn

 

0

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6 –1

 

–1

 

1

 

5

 

11

 

19

 

29

 

0

 

2

 

4

 

6

 

8

 

10

 

2

 

2

 

2

 

2

 

2

 

0

 

0

 

0

 

0

 

 

 

Аналогічно знаходять зростаючі різниці функції у(х).

 

Інтерполювання функцій,

 

що задаються таблично

 

.

 

Використовуючи формулу бінома Ньютона, дістаємо інтерполяційну формулу

Грегорі—Ньютона:

 

. (8.74)

 

Приклад. Із таблиці 8.2 знайдемо значення функції у(х) при х = 3.5.

 

( При xn = 3 знаходимо значення функції і її спадних різниць у(3) = 5,

(у(3) = 6, (2у(3) = 2, (3у(3) = 0.

 

З формули (8.74) при t = 0,5, h = 1 дістаємо:

 

.

 

Аналогічно можна використати іншу формулу Грегорі—Ньютона

 

(8.75)

 

, можна знайти похідну функції у(х). З формули (8.69) знайдемо оператор

диференціювання:

 

. (8.76)

 

З цієї формули знаходимо формулу чисельного диференціювання:

 

. (8.77)

 

Приклад. Використовуючи таблицю 8.2, знайдемо значення у((4).

 

.

 

 

Підносячи рівність (8.76) у квадрат, дістаємо формулу для знаходження

похідної другого порядку:

 

.

 

Підсумовування функцій

 

Наведемо відомий спосіб для обчислення суми виду

 

. (8.78)

 

Введемо функцію (F)x, яка задовольняє різницеве рівняння

 

. (8.79)

 

і підсумовуючи рівняння, дістаємо рівність

 

. (8.80)

 

.

 

:

 

 

Звідси знаходимо розв’язок різницевого рівняння (8.79) у вигляді

розкладу:

 

(8.81)

 

Приклад. Знайдемо розв’язок різницевого рівняння

 

.

 

( З формули (8.81) при h = 1 дістаємо вираз

 

.

 

Знайдемо вираз для суми

 

.

 

З формули (8.81) знайдемо формулу Ейлера для виразу суми через

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ