UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЧислові ряди. поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось10188
Скачало726
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Числові ряди. поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності

 

Основні поняття

 

— деяка нескінченна послідовність чисел. Побудований із цих чисел за

допомогою знака «+» символ

 

(9.1)

 

— членами ряду; n-ий член un — називається загальним членом ряду.

 

Побудуємо частинні суми ряду:

 

(9.2)

 

.

 

Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя

послідовності частинних сум ряду

 

(9.3)

 

називається сумою ряду, а число

 

— (9.4)

 

залишком ряду. Якщо границя Sn не існує (нескінченна), то ряд

називається розбіжним.

 

. Знайти загальний член ряду і дослідити ряд на збіжність.

 

Загальний член ряду, як правило, знаходять методом перебирання

варіантів, виходячи із аналізу заданих перших членів ряду з наступною

перевіркою його правильності.

 

побудований правильно.

 

За допомогою методу невизначених коефіцієнтів un можна розкласти на такі

дроби:

 

.

 

Часткова сума ряду Sn запишеться тоді так:

 

 

.

 

.

 

Деякі властивості збіжних рядів

 

Теорема 1. Якщо збігається ряд, то збігається його залишок; і навпаки,

із збіжності залишку випливає збіжність ряду.

 

Наслідок 1. Із розбіжності ряду випливає розбіжність його залишку, і

навпаки.

 

Наслідок 2. Якщо відкинути скінченну кількість перших членів ряду або

додати до нього кілька нових членів, то це не вплине на його збіжність.

 

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с,

то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на це число с:

 

 

.

 

.

 

Теорема 4. Послідовність частинних сум збіжного ряду обмежена. Це

твердження випливає зі збіжності послідовності частинних сум ряду.

 

.

 

, тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд

розбігається.

 

. Необхідна умова збіжності ряду не виконується. Ряд розбігається.

 

Ряд геометричної прогресії

 

Сума членів нескінченної геометричної прогресії є ряд виду

 

(9.5)

 

.

 

. Це випливає з таких міркувань:

 

;

 

 

.

 

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

 

.

 

( Загальний член ряду можна записати так:

 

 

.

 

Достатні ознаки збіжності

 

для рядів з додатними членами

 

.

 

Теорема 6 (основна). Для того щоб ряд з додатними членами збігався,

необхідно і достатньо, щоб усі його частинні суми були обмеженими.

 

Наслідок. Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно і

достатньо, щоб послідовність його частинних сум була необмеженою.

 

Теорема. 7 (ознака порівняння рядів). Якщо для рядів з додатними

членами:

 

(9.6)

 

(9.7)

 

то:

 

а) із збіжності ряду (9.7) випливає збіжність ряду (9.6);

 

б) із розбіжності ряду (9.6) випливає розбіжність ряду (9.7).

 

, то ряд (9.7) називається мажорантним відносно ряду (9.6), а ряд (9.6)

— мінорантним відносно ряду (9.7).

 

.

 

. Зауважимо, що

 

.

 

 — збігається.

 

, то ряди (9.6) і (9.7) збігаються або розбігаються разом.

 

.

 

 — гармонічний ряд, він є розбіжним. Обчислюємо

 

 

За ознакою порівняння (теорема 9.8) буде розбіжним і ряд

 

.

 

тоді:

 

ряд збігається;

 

ряд розбігається;

 

питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ