UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваПоняття функціонального ряду (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2752
Скачало348
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Функціональні ряди

 

Поняття функціонального ряду

 

Означення. Ряд

 

, (9.10)

 

є функції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х0

ряд (9.10) перетворюється на числовий

 

(9.11)

 

Якщо ряд (9.11) збігається (розбігається), то кажуть, що при х=х0

збігається (розбігається) функціональний ряд (9.10).

 

Означення. Усі значення аргументу х, при яких функціональний ряд

збіжний, називаються областю збіжності функціонального ряду.

 

В області збіжності існує границя часткових сум функціонального ряду

 

,

 

— сума ряду.

 

називається залишком ряду.

 

.

 

така нерівність:

 

 

 

.

 

.

 

Властивості рівномірно збіжних рядів

 

1. Сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій є неперервна

функція.

 

2. Якщо ряд (9.11) рівномірно збіжний на інтервалі (а; b) та існують

границі

 

 

то виконується рівність

 

 

, то

 

 

, то

 

 

У загальному випадку, при дослідженні на збіжність функціонального ряду

використовується та сама методика, що і для знакозмінного ряду.

 

Приклад. Знайти область збіжності ряду

 

 

. Цей ряд буде знакододатний. Отже, маємо право застосовувати до нього

ознаку Даламбера, при цьому х вважатимемо деяким параметром:

 

 

 

За ознакою Даламбера ряд буде збігатись, якщо

 

 

.

 

. У цій області ряд збігається абсолютно.

 

Степеневі ряди

 

Означення. Функціональний ряд

 

(9.12)

 

називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

 

Розглядають і більш загальний вигляд степеневого ряду

 

(9.13)

 

Якщо в (9.13) візьмемо х – с = у, то дістанемо ряд типу (9.12), тому

властивості ряду (9.12) неважко перефразувати і для ряду (9.13).

 

Теорема 14 (Абеля). Якщо степеневий ряд (9.12):

 

;

 

.

 

Ілюстрацію до теореми Абеля наведено на рис. 9.2.

 

 

Рис. 9.2

 

Інтервал і радіус збіжності

 

степеневого ряду

 

Як наслідок із теореми Абеля для степеневого ряду (9.12) існує інтервал

збіжності з центром у точці х = 0 (рис. 9.3).

 

 

Рис. 9.3

 

ряд є розбіжним; при цьому число R > 0 називається радіусом збіжності

степеневого ряду.

 

має центр симетрії в точці х = с.

 

Зауваження. На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках х = 

 

ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує

спеціального дослідження в кожному випадку.

 

Виведемо формулу для знаходження радіуса збіжності ряду (9.12). Для

цього побудуємо ряд із абсолютних величин членів ряду (9.12):

 

(9.14)

 

. Тоді, застосовуючи ознаку Даламбера до ряду (9.14), дістаємо:

 

.

 

. Радіус збіжності визначається за формулою

 

. (9.15)

 

.

 

Зауваження. Формулами (9.1) і (9.16) можна користуватися лише в тих

випадках, коли указані границі існують. У загальному випадку дослідження

збіжності степеневого ряду виконується за такою самою методикою, що і

для довільного функціонального ряду, наприклад такою, що була

використана під час виведення формули радіуса збіжності (9.15).

 

.

 

. За формулою радіуса збіжності (9.15) маємо:

 

.

 

.

 

Приклад. Знайти область збіжності ряду

 

 

, до якого застосуємо ознаку Даламбера

 

 

.

 

Проведемо дослідження збіжності ряду на кінцях інтервалу збіжності:

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ