Шпаргалка
(І)1) Частинні похідні і повний диференціал.
Добуток F’(x)*(x назив. диференціалом ф-ції у=f(x), зображують символом
dy, тобто dy=f’(x)* (x.
Знайдемо диференціал ф-ції у=х; для цього випадку y’=x’=1, отже
dy=dx=(x. Таким чином диференціал не залеж змінної збігається з її
приростом (x. ( dy=f’(x)dx
(І)2) Похідна за напрямом.
Відомо, що механіч. зміст похідної ф-ції 1 незалеж змінної – змінювання
ф-ції в даний момент х. Аналогічно можна тлумачити мех. зміст частин
похідних І-го порядку ф-ції z=f(x;y)
(z/(x – швидкість зміни ф-ції в напрямі Ох.
(z/(y – швидкість зміни ф-ції в напрямі Оу.
Частин похідну ф-ції z не залеж змінної за напрямом ех, еу знаходять:
де ( і ( – кути, які утвор. Вектор е з осями координат.
(І)3) Градієнт.
Напрям найбільшої швидкості зміни ф-ції z=f(x;y) співпадає з напрямом
вектора – градієнтом.
За формулою довж вектора знаходять величину цієї найбільшої швидкості:
(І)4) Екстремуми.
Ф-ція має екстремуми в т. М0 (х0;у0), якщо існує такий окіл цієї т., що
для всіх точок М(х;у) з цього околу виконується нерівність f(x0;y0) >
f(x;y). Точки, в яких частинні похідні І порядку =0 або не існують
називаються критичними.
(І)5) Необхідна і достатня умови існування екстремуму.
В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує ( в т.
екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:
df/dx=0 і df/dy=0.
Необхідна:
Достатня:
AC – B2NRThlnrtvx & \ j Інтеграл від розривних ф-цій. (ІІ)17) Подвійний інтеграл. Означення: Якщо границі інтегр. суми існує і не залежить від способу розбиття області D на часткові області, від вибору т. М, то цю границю називають подвійним інтегралом від ф-ції f(x;y) по області D: або: Отже, подвійний інтеграл є прямим узагальненням поняття звичайного визначеного інтеграла на випадок двох змінних. Обчислення подвійного інтегралу зводиться до обчислення повторного інтегралу: (ІІІ)18) Диференційні рівняння І порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними. Означення: Диф. Рівнянням називається рівняння, яке містить шукану похідну ф-ції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференційного рівняння. Означення: Д.Р. вигляду M(x)dx+N(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремленими змінними. Загальний розв’язок має вигляд: (M(x)dx+(N(y)dy=C і розв. Задачі Коші з початковими умовами х=х0, у=у0 має вигляд: Означення: Д.Р. виду N1(y)M1(x)dx+M2(x)N2(y)dy=0 називаються Д.Р. з відокремлюваними змінними, тобто рівняння, що зводяться до рівнянь з відокремленими змінними. (ІІІ)19) Однорідні і лінійні диференційні рівняння І порядку. Означення: Д.Р. називається однорідним, якщо його можна подати у вигляді: Воно за допомогою заміни змінної y/x=u (y=ux зводиться до Д.Р. з відокремлюваними змінними. та знаходження розв’язку зводиться до квадратур: Лінійні Д.Р. І порядку. Означення: Д.Р. виду y’+P(x)y=Q(x) називається лінійним Д.Р. Якщо Q(x)(0, то Д.Р. є однорідним, якщо Q(x)(0, то неоднорідним. Рішення лінійного Д.Р. І порядку: y'+P(x)y=Q(x) y=uv y’=u’v+v’u u’v+v’u+P(x)uv=Q(x) u’v+u(v’+P(x)v)=Q(x) v’+P(x)v=0 u’v=Q(x) (ІІІ)20) Лінійні Д.Р. ІІ порядку з сталими коефіцієнтами. В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=((x,C1,C2) і за рахунок вибору C1 і С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x0)=y0, y’(x0)=y0’. Однорідні. Означення: Рівняння вигляду y’’+a1y’+a2y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р. Розв’язок: y’’+a1y’+a2y=0 Складаємо характеристичне рівняння: K2+a1K+a2=0 А) D>0
Б) D=0, K1,2= –b/2
В) D1, ряд – розбіжний
б)D1, ряд – розбіжний
в)k=1, – ???
4) Інтегральна ознака Коші.
Беремо ( від Un-члена ряду. Якщо невласний інтеграл збіжний, то ряд –
збіжний, якщо ж розбіжний, то ряд – розбіжний.
(IV)24) Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца.
Означення: Знакопочерговий ряд – ряд вигляду:
Для дослідження знакопочергового ряду на абсолютну і умовну збіжність
складається ряд з абсолютних величин.
Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо
збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.
Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд
збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.
Ознака Лейбніца.
Теорема: Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній
величині і границя абсолютної величини загального члена ряду = 0, то ряд
збігається. Коротко цю теорему можна записати так:
Наслідок1:
Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий же, як і знак першого
члену ряду.
Наслідок2:
Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною
величиною не перевищує перший член ряду, тобто |S||x1|.
Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду.
Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з
центром в точці х0.
Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у
всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок
|x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом
збіжності ряду.
Зауваження:
На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як
збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального
дослілження в кожному випадку.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
