.

Шпаргалка Інтегральне числення

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
462 9923
Скачать документ

Шпаргалка

Інтегральне числення

Невизначений інтеграл

1. Поняття первісної

Означення: Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку
І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) – диференційована, а значить
неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від
проміжку, на якому вона розглядається.

Теорема про множину первісних

Якщо F(x) – первісна для функції f(х) на проміжку І, то:

F(x)+С – також первісна для f(x) на проміжку І;

будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може біти представлена у вигляді Ф(х)=
F(x)+С на проміжку І. (Тут С=const називається довільною сталою).

2. Невизначений інтеграл. Задача інтегрування

Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f(x) називається
інтегруванням.

Задача інтегрування функції на проміжку полягає в тому, щоб знайти всі
первісні функції на цьому проміжку. Для розв’язання задачі інтегрування
функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному
проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних)
F(x)+С – загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення: Ф-ія F(x)+С, зо являє собою загальний вигляд всієї множини
первісних для ф-ії f(x) на проміжку І і позначається

де f(x) – підінтегральна ф-ія; f(x)dx – підінтегральний вираз; dx –
диференціал змінної інтегрування.

Теорема Коші. Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f(x) на
певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.

Неінтегровні інтеграли – які неможливо записати через основні
елементарні ф-ії.

3. Властивості невизначеного інтеграла

Властивості, що випливають із означення невизн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному
виразу.

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака
інтеграла.

V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених
інтегралів від цих функцій, якщо вони існують.

4. Інтегрування розкладом

Базується на 5-й властивості невизначеного інтеграла. Мета – розкласти
підінтегральну ф-ію на такі доданки, які простіше інтегрувати.

5. Інтегрування частинами

На практиці ф-ії u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом:
при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на
два множники типу udv, тобто f(x)dx=udv; при цьому ф-ія u(x) вибирається
такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а за dv приймають
залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого
відомий, або може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів і їх заміни:

де Р(х) – многочлен, Q(x) – алгебраїчна ф-ія.

6. Метод підстановки

Мета – перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше
інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) – неперервна, а x=((t) має неперервну похідну, то:

Наслідок.

7. Метод безпосереднього інтегрування

В цьому методі використ. формула

варіанту заміни змінної, але саму змінну не записують (роблять усно) При
цьому використовують операцію внесення ф-ії під знак диференціала.

, то:

Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок – значення
диференціалу від цього не зміниться.

8. Інтегрування раціональних ф-ій

називається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в
чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n

F

v

~

¦

?

TH

ae

hF

hF

hF

2

¦

z

&

x

z

?

a

e

-N-?-e-uouuuauuuuuuuuuauuauuuuuuu

UOeUOe??UOeAeyAeOeEOeEOeEOe

jAe

)uuuuuououuuouuuauuuuuuuuuu

j

7’7E7E7I7uuuuuuuuuiuuuuuuuuuiuuuuuuu

=?=(>*>t>Oe>^?`???o?uuuuuiuuuuauuuauuOuuuuuuu

j

W*W,W Y”Y?YFZ/eaaOaaa/aaaaa/aa/aaaeaaa

]^]?]¦^?^?^e^oe`-b bdb?b?b4c’c”c-d duuuuuuuuuuoauuuuuuuuuuauuu

6. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду

Криволінійний інтеграл першого роду

називається криволінійним інтегралом першого роду, якщо ця границя існує
і не залежить ні від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ні від
вибору на них точок Mi.

Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, цей інтеграл можна обчислити
за такою формулою:

В тривимірному випадку для ф-ії u=f(x;y;z), коли дуга кривої L задана
параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t), z=z(t), ( ( t ( (. Формула має
вигляд:

Зауваження: Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму
шляху інтегрування.

Криволінійний інтеграл першого роду

Якщо P(x;y) та Q(x;y) – неперервні ф-ії, а y=((x) – рівняння дуги
гладкої кривої L, яка пробігається при зміні х від а до b, то
криволінійний інтеграл другого роду має такий вигляд:

Криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний при
зміні напряму шляху інтегрування (тобто обходу дуги кривої L).

дуги кривої лінії L, тобто:

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Основні поняття

1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі.

Множина точок називається зв’язною, якзо будь-які її дві точки можна
з’єднати ламаною лінією так, щоб всі точки цієї лінії належали цій
множині.

Множина точок називається обмеженою, якщо її точки належать множині
точок круга скінченного радіуса.

Множина точок, координати яких задовольняють нерівність
(x1-x10)2+(x2-x20)2+…+(xn-xn0)20 існує число (>0 таке, що при виконанні нерівності
00 і A0 і A>0 тоді точка мінімуму

AC-B2

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020