Реферат на тему:
Ризик та теорія корисності
План
Концепція корисності
Корисність за Нейманом. Сподівана корисність.
Різні схильності до ризику та корисність
Криві байдужості
Концепція корисності.
Для задач прийняття рішень за умов невизначеності та ризику принцип
оптимальності нерідко будується у вигляді функції корисності. Оскільки
при наявності ризику результати рішень залежать від випадкових величин,
то для порівняння їх ефективності необхідно вміти порівнювати функції
розподілу ефективності. У цьому випадку важливе значення для прийняття
рішень мають результати про властивості функцій корисності.
Корисність визначає ступінь задоволення, яке одержує суб’єкт від
споживання товару чи виконання будь – якої дії.
Найбільш загальний підхід щодо оцінки ступеня (міри) ризику полягає у
введенні функції корисності. Концепція функції корисності є одним з
важливих елементів будь – якої сучасної економічної теорії. Вона
дозволяє здійснити співвимірність споживчих елементів різних товарів.
Корисність включає важливу психологічну компоненту, тому що люди
досягають корисності, отримуючи речі, що приносять їм задоволення. В
економічному аналізі корисність часто використовується для того, щоб
описати пріоритети при ранжуванні наборів споживчих товарів та послуг.
Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь – які варіанти
оцінки випадкової економічної ситуації у вигляді сподіваного значення
такої функції.
Введемо таке поняття як пріоритет, яке досить часто використовується
суб’єктами прийняття рішень.
Позначимо поняття “пріоритетніше ніж”, ”байдуже”, “не гірше ніж”
відповідними символами >, ~, >~.
Нестроге співвідношення пріоритетності “ не гірше ніж” є одним із
основних найпростіших понять; його записують так:
x >~ y, (4.1)
де x та y є набором товарів чи послуг (точками простору Х).
Цей запис означає , що певний суб’єкт (споживач) вважає для себе набір х
або пріоритетнішим ніж набір у, або не робить між ними різниці, тобто х
не гірший ніж у. Можна визначити поняття байдужості та строгої
пріоритетності у термінах нестрогого співвідношення пріоритетності:
набори товарів х та у байдужі (еквівалентні) для споживача (х ~ у) тоді
і лише тоді, коли
x >~ y та y >~ х. (4.2)
А коли споживач бажає обрати х, а не у, тобто х пріоритетніше, ніж у
(записують х > у), тоді і лише тоді, якщо х не гірше ніж у, а у не гірше
ніж х. Значить х > у тоді і лише тоді, коли
x >~ y, а x >~ y – несправедливе. (4.3)
Надалі будемо вважати, що нестроге співвідношення пріоритетності
задовольняє дві основні аксіоми.
Перша аксіома стверджує, що це співвідношення є досконалою
напівупорядкованістю у просторі товарів Х. Співвідношення називається
досконалим, якщо для двох заданих наборів товарів х та у з Х
справедливе одне з двох співвідношень:
x >~ y, або y >~ х, або одночасно. (4.4)
Це означає, що у просторі товарів немає таких “білих плям”, де пріоритет
не існує. Співвідношення називають частковою впорядкованістю, якщо воно
транзитивне, тобто для трьох заданих наборів х, у та z із Х виконується
умова:
якщо x >~ y та y >z, то x >z, (4.5)
що виражає сумісність пріоритетів. І, якщо співвідношення рефлексивне,
тобто для будь – якого х є Х:
x >~ x. (4.6)
Цей факт випливає з досконалості співвідношення.
Нестроге співвідношення пріоритетності є досконалою частковою
впорядкованістю простору товарів і означає, що співвідношення байдужості
є співвідношенням еквівалентності, яке транзитивне , оскільки при
заданих х, у та z є Х, якщо
x ~ y та y ~ z, тоді x ~z – рефлексивне, ( 4.7)
оскільки при заданому х є Х: x ~ x , ( 4.8)
та симетричне, оскільки при заданих х та у є Х :
x ~ y означає y ~ x .
(4.9)
Для доведення , наприклад, транзитивності зазначимо, що x ~ y та y ~ x
означає з визначення байдужості, що x >~ у та у >~ z і що z >~ у та у
>~ х. Тоді з транзитивності нестрогого співвідношення пріоритетності x
>~z та z >~ х випливає, що х ~ z.
Співвідношення байдужості, як співвідношення еквівалентності, ділить
простір товарів Х на класи еквівалентності – підмножини, що попарно не
перетинаються, називаються множинами байдужості, кожна з яких
складається з усіх наборів, байдужих заданому наборові
Іх = { у є Х| у ~ х} (4.10)
Друга основна аксіома стверджує, що нестроге співвідношення
пріоритетності неперервне, тобто пріоритетні множини, кожна з яких
складається з усіх наборів, що є пріоритетніші чи байдужі заданому
набору Х:
Рх = {у єХ| у >~ х}, (4.11)
і непріоритетні множини, кожна з яких складається з усіх таких наборів,
для яких заданий набір Х пріоритетніший чи байдужий
NPx = {y є X|x >~y}, (4.12)
є замкнутою множиною простору товарів для будь – якого х є Х.
За цією аксіомою обидві множини містять усі граничні точки, причому для
обох множин ці точки утворюють множину байдужості Іх, рівну перетинові
Рх(NPx.
З цих основних аксіом досконалої нестрогої впорядкованості та
неперервності випливає, що існує неперервна дійсна функція, визначена на
елементах множини Х є U((), котру називають функцією корисності і для
якої
U(x) >~U(y), якщо х >~ у . (4.13)
Функція корисності зіставляє кожному наборові споживчих товарів певне
число в такий спосіб, що, якщо набір А пріоритетніший, ніж набір В (А >
В), то число, яке відповідає набору А, буде більшим, ніж те, що
відповідає набору В.
Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, яке отримує особа від
споживання додаткової кількості товару.
Наприклад, гранична корисність, що пов’язана із зростанням споживання
від 1 до 5 одиниць шоколаду, може дорівнювати 10, від 6 до 10 одиниць –
5, а від 11 до 15 одиниць – 3. Ці цифри узгоджуються з принципом
зниження граничної корисності. У міру зростання споживання товару процес
додаткового споживання дає усе менший приріст корисності.
2. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність.
Для визначення корисності розглянемо вибір особи за умов ризику, який
формалізується за допомогою поняття лотереї.
Х , тобто найменше пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного
показника (це буде “нуль” даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне
у певному сенсі значення показника (разом з “нулем” воно визначить
масштаб даної шкали). Власне так побудована функція корисності
Дж.Неймана і О.Моргенштерна. Експерти пропонують порівнювати
альтернативу: 1) значення показника х; 2) лотерею: одержати х* з
імовірністю (1-р) чи х* з імовірністю (р). Величину ймовірності р
змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея
L(x*, p, х* ) не стануть еквівалентними. Максимальному та мінімальному
значенням х* та х* приписують довільні числові значення U*=U(x*) та
U*=U(x*), але так, щоб U*>U*.
Під лотереєю L(x*,p(х),х* ) розуміють ситуацію, в якій особа може
отримати х* з імовірністю р(х) або х* з імовірністю 1-р(х).
Корисність варіанту х визначається ймовірністю р(х), при якій особі
байдуже, що обирати х – гарантовано, чи лотерею L(x*,p(х),х* ), де х*,х*
вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.
Нехай L – лотерея, що приводить до виграшів (подій) х1,х2,…,хN з
відповідними ймовірностями р1,р2,…, рN. Позначимо сподіваний виграш
(математичне сподівання виграшу) через х:
. (4.14)
, (4.15)
тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним
сподіванням корисності результатів.
визначається з рівняння
=U-1MU(x). (4.16)
(х), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює
, (4.17)
t v c ~?t
v
?????/?U1/4
j
jp
j3
j3
j3
озв’язанням рівняння
. (4.18)
Згідно з теорією сподіваної корисності, суб’єкт керування, що приймає
рішення за умов невизначеності та ризику, повинен максимізувати
математичне сподівання корисності результатів. Отже, якщо f(x,w) –
вектор результатів, що залежить від вектора плану х та елементарної
події w, то ефективність плану для значень w, які містяться у множині ?,
w є ? з імовірнісною мірою Р(dw), має вид
. (4.19)
Величина Р(dw) визначається або за статистичними методами при наявності
необхідної кількості спостережень, або за допомогою спеціальних
експертних процедур.
Різні схильності до ризику та корисність
Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї
більш пріоритетною є можливість отримати гарантовано сподіваний виграш у
лотереї, ніж приймати в ній участь.
З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним
сподіванням корисності її випадкових результатів.
Отже, умова несхильності до ризику приймає вид
U(M[x(w)])>M[U(x(w))], (4.20)
де М( ) – символ (оператор) математичного сподівання,
х – випадкова величина, що залежить від елементарної події w.
(х) за ризик в лотереї L є різниця між сподіваним виграшем та
детермінованим еквівалентом
. (4.21)
Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента з
протилежним знаком, тобто
= -U-1(M[U(x(w))]), (4.22)
Умова схильності до ризику має вид
U(M[x(w)])
Література Абрамов С.И. Оценка риска ивестирования // Экономика строительства. №12, 1996. – с. 2 – 12. Балабанов И.Т. Риск – менеджмент. – М.: Финансы и статистика, 1996. Вітлінський В.В., Наконечний С.І. Ризик у менеджменті. – К.: ТОВ “Борисфен-М”, 1996. – 336 с. Воропаев Ю.Н. Оценка риска аудита и бизнеса // Бухгалтерский учёт, - 1996. -№6. – С. 27. Грабовый П.Г., Петрова С.Н. Риски в современном бизнесе. – М.: Аланс, 1994. – 200 с. Грядовая О. Кредитные риски и банковское ценообразование // Российский экономический журнал. – 1995. - №9. – С. Жигло А.Н. Расчёт ставок дисконта и оценка риска // Бухгалтерский учёт. – 1996. - №6. – С. 41. Комаринський Я., Яремчук І. Фінансово – інвестиційний аналіз. Навч. Посібник. – К. Українська енциклопедія. – 1996. – 298 с. Кононенко А.Ф., Холезов А.Д., Чумаков В.В. Принятие ришений в условиях неопределённости // ВЦ АН СССР. – М., 1991. – 197 с. Куракина Ю.Г. Оценка фактора риска в инвестиционных расчётах // Бухгалтерский учёт. – 1996. - № 6. – С. 22-27. Нейман Дж.фон, Могенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970. Доход, грн. Корисність U(х) х ? сподіваний прибуток ступінь ризику U1 U2 U3 A 1 4 3 2 B . . ? сподіваний прибуток ступінь ризику U1 U2 U3 A 1 4 3 2 B . . Рис. 4.2. Поверхні (криві) байдужості
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
