Реферат на тему:
Числові характеристики випадкових величин та їх властивості
Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних
випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає
потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні
параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають
числовими характеристиками випадкових величин.
1. Математичне сподівання
Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є
математичне сподівання.
Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом
терміна «середнє значення» випадкової величини X.
Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на
дискретному просторі ?, називається величина
. (75)
Якщо ? — обмежена множина, то
. (76)
Якщо простір ? є неперервним, то математичним сподіванням неперервної
випадкової величини Х називається величина
. (77)
Якщо ? = (– (; (), то
. (78)
Якщо ? = [a; b], то
(79)
2. Властивості математичного сподівання
1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:
М (С) = С. (80)
Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з
імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому
М (С) = С ( 1 = С.
2. М (СХ) = СМ (Х). (81)
Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо
.
Для неперервної:
3. Якщо А і В є сталими величинами, то
. (82)
Для дискретної випадкової величини:
.
Для неперервної випадкової величини:
Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано
таблицею:
хі – 6 – 4 2 4 6 8
рі 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Скориставшись (76), дістанемо
Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей
обчислити М (Х).
Розв’язання. Згідно із (79) маємо:
Приклад 3. Дано щільність імовірностей
Обчислити М (Х).
Розв’язання.
Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей
Обчислити М (Х).
Розв’язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність
імовірностей
Тоді:
Якщо випадкова величина Х ( [а; b], то М (Х) ( [а; b], а саме:
математичне сподівання випадкової величини має обов’язково міститься
всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.
3. Мода та медіана випадкової величини
Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе
значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.
Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе
значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:
f (Mо) = max.
Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей
називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т.
ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають
антимодальними.
Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її
значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:
(83)
Отже, медіану визначають із рівняння (83).
Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати.
Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний
проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.
Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х
— числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок
часу. Знайти Мо.
Розв’язання.
Можливі значення випадкової величини:
Х = 0, 1, 2, 3.
Імовірності цих можливих значень такі:
p1 = (0,2)3 = 0,008;
p2 = 3р q2 = 3 ( 0,8 ( 0,04 = 0,096;
p3 = 3p2q = 3 ( 0,64 ( 0,2 = 0,384;
p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.
Запишемо закон таблицею:
хі 0 1 2 3
рі 0,008 0,096 0,384 0,512
Із таблиці визначаємо Мo = 3.
Отже, дістаємо одномодальний розподіл.
Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей
Знайти а і F(x), Mo.
Розв’язання.
За умовою нормування маємо:
Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд
Графік f(x) зображено на рис. 53.
Рис. 53
Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.
Визначаємо Мe:
Отже,
Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):
Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:
(84)
або при Х ( [а; b]:
. (85)
Отже, Ме — можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що
пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме,
поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.
4. Дисперсія та середнє
квадратичне відхилення
Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову
величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати
безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими
значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.
Приклад 7. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:
хі – 0,5 – 0,1 0,1 0,5
рі 0,4 0,1 0,1 0,4
уj – 100 – 80 – 10 10 10 80
pj 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,2
Обчислити М (Х) і М (Y).
Розв’язання.
Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча
можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із
наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М
(X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань
відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання
відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому
математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання
розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х
від свого математичного сподівання (Х – М (Х))
Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди
дорівнює нулю. Справді,
.
Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання
квадрата відхилення цієї величини
. (86)
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія
; (87)
для неперервної
. (88)
Якщо Х ( [а; b],
. (89)
5. Властивості дисперсії
1. Якщо С — стала величина, то
. (90)
Справді
.
V
X
^
b
”
–
b
–
?????????????D,
?
????«
??”????????«
?Т?Т??
gdo~«
gdo~«
gdo~«
gdo~«
AE
AE
gdo~«
gdo~«
gdo~«
?
?
AE
gdo~«
AE
AE
gdo~«
gdo~«
gdo~«
1/2 s
???????????«
????????????«
?
. (91)
Маємо:
3. Якщо А і В — сталі величини, то
. (92)
Адже
Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:
(93)
!
Доведення. Згідно з (86) дістаємо:
Для дискретної випадкової величини Х
; (94)
для неперервної
. (95)
Якщо Х ( [а; b], то
(96)
.
Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно
свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в
деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але
в квадраті.
Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і
випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне
відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають
корінь квадратний із дисперсії:
. (97)
Приклад 8. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано
таблицею:
хі – 4 – 2 1 2 4 6
рі 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1
Обчислити D (X), ( (X).
Розв’язання. Згідно з (94) маємо:
Приклад 9. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з
імовірністю q = 0,1 (p = 1 – q = 0,9 — імовірність того, що в лампочці
дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у
патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з
дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу
дискретної випадкової величини Х — число лампочок, які будуть
випробувані. Обчислити ( (X).
Розв’язання. Дискретна випадкова величина Х — число лампочок, які будуть
випробувані — набуває таких можливих значень:
Обчислимо відповідні ймовірності:
Адже четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а
четверта — ні, або коли й четверта перегорить.
У табличній формі закон розподілу Х матиме такий вигляд:
хі 1 2 3 4
рі 0,9 0,09 0,009 0,001
Далі виконуємо такі обчислення:
Приклад 10. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
Х задано функцією
Обчислити D (X); ( (X).
Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон
розподілу таблицею
Приклад 11. Задано щільність імовірностей:
Обчислити D (X); ( (X). Знайти Мо; Ме.
Розв’язання.
Графік f (x) зображено на рис. 54.
Рис. 54
Отже,
Приклад 12. Задано щільність імовірностей (рис 55).
Рис. 55
Обчислити D (X); ( (X); Mе. Знайти Мо.
Розв’язання. За умовою нормування знайти ординату точки В:
.
.
.
Отже, щільність імовірностей
Знаходимо функцію розподілу ймовірностей:
Отже, функцію розподілу ймовірностей можна подати у вигляді
Графік F(x) зображено на рис. 56.
Рис. 56
Далі обчислюємо D (X):
то медіана належить проміжку [0; 4].
Далі маємо:
Мо = 0.
6. Початкові та центральні моменти
Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові
та центральні моменти.
Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають
математичне сподівання величини Х k:
. (98)
і т. д.
Для дискретної випадкової величини Х
; (99)
для неперервної
. (100)
Якщо Х ( [а; b], то
. (101)
Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від
(Х – М(Х))k:
(102)
;
.
Для дискретної випадкової величини
(103)
для неперервної
(104)
Якщо Х ( [а; b], то
. (105)
7. Асиметрія і ексцес
Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу
випадкової величини. Якщо (3 = 0, то випадкова величина Х симетрично
розподілена відносно М (Х). Оскільки (3 має розмірність випадкової
величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — ко-
ефіцієнт асиметрії:
. (106)
Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення
ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність
щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою
(107)
Зауважимо, що число 3 віднімається ось чому. Для центрального закону
розподілу, так званого нормального закону, виконується рівність:
Отже, Еs = 0.
Для наочності при різних значеннях Аs, Es графіки f (x) зображені на
рис. 57 i 58.
Рис. 57 Рис. 58
Приклад 13. Задано щільність імовірностей:
Обчислити Аs, Еs.
Розв’язання.
Оскільки (3 = 0, то і Аs = 0. Отже, можливі значення випадкової величини
Х симетрично розподілені відносно М (Х) = 1. Для обчислення Еs необхідно
знайти (4 і (.
Приклад 14. За заданим законом розподілу ймовірностей
хі – 8 – 4 –1 1 4 8
pі 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1
oбчислити Аs, Еs.
Розв’язання. Скориставшись (103), (106) і (107), дістанемо:
Оскільки (3 = 0, то й Аs = 0;
ЛІТЕРАТУРА
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное
приложение. — М.: Наука, 1988.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.
PAGE 1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter