Реферат на тему:
Основні закони цілочислових випадкових величин
Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії
ймовірностей посідають такі, що набувають лише цілих невід’ємних значень
Х = хk = 0, 1, 2, 3, … .
Ці випадкові величини називають цілочисловими.
1. Імовірнісні твірні функції та їх властивості
Для дослідження законів розподілу цілочислових випадкових величин
використовують імовірнісну твірну функцію. Імовірнісною твірною функцією
називають збіжний степеневий ряд виду:
. (231)
Тут рk = Р(Х = k), тобто є ймовірність того, що випадкова величина Х
набуде значення k = 0, 1, 2, 3, … .
Імовірнісній твірний функції притаманні такі властивості
А(Х) визначена в кожній точці інтервалу [–1; 1].
При Х = 1 маємо:
,
оскільки це є умовою нормування для дискретної випадкової величини.
Із (231) дістаємо
,
де Аk (0) — k-та похідна від А(х), при Х = 0. Отже, знаючи аналітичний
вираз для А(х), можемо знайти ймовірність будь-якого можливого значення
Х = k.
.
При х = 1 дістанемо
.
Звідси
. (232)
.
При х = 1
Це можна записати так:
Тоді
Отже, формула для обчислення дисперсії буде така:
(233)
2. Біноміальний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо
ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:
k = 0, 1, 2, 3, …, n. (234 а)
У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:
При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному
Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:
.
Побудуємо ймовірнісну твірну функцію для цього закону
.
Отже, імовірнісна твірна функція для біноміального закону
. (234 b)
Знайдемо основні числові характеристики для цього закону:
,
. (235)
;
; (236)
. (237)
Приклад 1. У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%.
Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити
М (Х), D (X), ( (Х) для дискретної випадкової величини Х — появи числа
стандартних деталей серед 400 навмання взятих.
Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон
розподілу ймовірностей, яка може набувати значення
Х = k = 0, 1, 2, …, 400.
, де р = 0,95 — імовірність появи стандартної деталі, q = 1 – p =1 –
0,95 = 0,05 — імовірність появи нестандартної деталі.
Згідно з (235), (236), (237), маємо:
= 400 ( 0,95 = 380;
= 400 ( 0,95 ( 0,05 = 19;
( 4,36.
Приклад 2. У кожному із 100 контейнерів міститься по 8 виробів першого
сорту, а решта 2 — браковані. Із кожного контейнера навмання беруть по
одному виробу. Визначити М (Х), D (X), ( (X) для дискретної випадкової
величини Х — поява числа виробів першого сорту серед 100 навмання
взятих.
Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон
розподілу. Із умови задачі маємо:
n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k = 0, 1, 2, 3, …, 100.
За формулами (235), (236), (237) дістаємо:
= 100 ( 0,8 = 80;
= 100 ( 0,8 ( 0,2 = 16;
( 4.
3. Пуассонівський закон
розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу,
якщо ймовірності її можливих значень
, k = 0, 1, 2 ,3, …, n, (238)
. У табличній формі цей закон розподілу буде такий:
.
Умова нормування виконується.
Побудуємо ймовірну твірну функцію для цього закону:
.
Отже,
. (239)
Скориставшись (232), (233), дістанемо вирази для М (Х), D (X):
;
. (240)
;
;
; (241)
. (242)
Отже, для Пуассонівського закону розподілу ймовірностей
М (Х) = D (X) = а.
Приклад 3. Прилад має 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один
від одного. Імовірність того, що мікроелемент вийде із ладу під час
роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,004. Визначити М (Х), D
(X), ( (Х) випадкової величини Х — числа мікроелементів, що вийдуть із
ладу під час роботи приладу.
Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має пуассонівський
закон розподілу — імовірності її можливих значень обчислюються за
формулою Пуассона, котра є асимптотичною щодо формули Бернуллі для
великих значень n і малих значень p, так званих малоймовірних випадкових
подій.
За умовою задачі маємо:
= 1000 ( 0,004 = 4;
= 4;
Приклад 4. У деякому населеному пункті маємо 0,1% дальтоніків. Навмання
вибирають 5000 мешканців цього населеного пункту. Визначити М (Х), D
(X), ( (Х) випадкової величини Х — числа дальтоніків, яких буде виявлено
серед 5000 навмання вибраних мешканців.
Розв’язання. Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон
розподілу. Із умови задачі: n = 5000, p = 0,0001. Згідно з (240), (241),
(242), дістаємо:
= 5000 ( 0,0001 = 0,5;
= 0,5;
.
4. Геометричний закон розподілу ймовірностей
Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число
проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова
випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності
її можливих значень
, k = 1, 2, 3, …, n. (243)
Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною
сталою, q = 1 – p.
У табличній формі геометричний закон розподілу такий:
…
При перевірці умови нормування використовується формула суми
нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають
геометричним:
Побудуємо ймовірнісну твірну функцію
.
, дістаємо
, то
;
. (244)
Числові характеристики для цього закону:
;
. (245)
;
.
&
(
?
?
„
????u{?(*,.HJNTVZ\`?1/4AEEeir
t
„
†
?
?
i
?
?„
ae
??
??”???????u{
&
F
AE
??????????u{
???????????u{
; (246)
. (247)
Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону
притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність
появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки
їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.
Приклад 5. Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6.
Визначити М (Х), D (X), ( (Х) для випадкової величини Х числа
здійснюваних підкидань.
.
Скориставшись (245), (246), (247), дістанемо:
.
Приклад 6. Спортсмен стріляє зі спортивної рушниці по одній і тій самій
мішені. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною
сталою і дорівнює 0,8. Стрільба по мішені ведеться до першого влучення.
Визначити
М (Х), D (X), ( (Х) випадкової величини Х — числа витрачених спортсменом
набоїв.
Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, з геометричним законом
розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = 0,8; q = 0,2.
Згідно з (245), (246) і (247) маємо:
.
5. Рівномірний закон розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо
ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:
. (248)
У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:
виконується.
Імовірнісна твірна функція для цього закону
, (249)
.
Числові характеристики рівномірного закону:
, яку розкриваємо
(При х = 1 знову дістаємо
, яку розкриваємо за правилом Лопіталя (=
. (250)
Виконуючи аналогічні, але більш громіздкі перетворення, дістаємо:
(251)
(252)
Приклад 7. Знайти М (Х), D (X), ( (Х), якщо цілочислова випадкова
величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:
.
Розв’язання. За умовою задачі маємо: n = 100, Pk = 1/100. Згідно з
(250), (251), (252) дістаємо:
.
.
.
6. Гіпергеометричний закон
розподілу ймовірностей
Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу,
якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою
. (253)
елементів — ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів,
число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання
взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з
гіпергеометричним законом розподілу.
У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:
При цьому m ( n.
.
Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2,
3, …, m – 1.
Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі
формулами:
. (254)
. (255)
. (256)
Приклад 8. В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7
стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей.
Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х — появу
числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити М (Х),
D (X), ( (Х), якщо: 1) m = 3; 2) m = 4; 3) m = 5; 4) m = 7.
Розв’язання. Використовуючи формулу (253) побудуємо гіпергеометричні
закони розподілу:
= 3; k = 0, 1, 2, 3.
У табличній формі гіпергеометричний закон подається так:
або
.
;
;
.
= 3; k = 1, 2, 3, 4.
У табличній формі закон розподілу подається так:
або
.
;
;
.
3. m = 5; n1 = 7; n = 3; k = 2, 3, 4, 5.
У табличній формі закон подається так:
або
;
;
.
.
= 3; k = 4, 5, 6, 7.
У табличній формі закон подається так:
або
.
;
;
.
ЛІТЕРАТУРА
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное
приложение. — М.: Наука, 1988.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.
PAGE 1
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter