UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЗакон великих чисел. граничні теореми теорії ймовірностей (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось7227
Скачало993
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Закон великих чисел. граничні теореми теорії ймовірностей

 

1. Закон великих чисел

 

Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації

реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим

подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них

виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого

числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє

стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P (A); середнє

арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її

математичного сподівання.

 

Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який

можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що

здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової

величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і

може передбачатися з великою надійністю.

 

Закон великих чисел об’єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних

умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час

проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових,

сталих величин.

 

Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.

 

2. Нерівність Чебишова

 

.

 

Це можна записати так:

 

. (328)

 

будуть протилежними (рис. 105).

 

 

Рис. 105

 

А тому

 

(329)

 

. (а)

 

.

 

Розглянемо нерівність:

 

 

. (б)

 

Помноживши ліву і праву частини нерівності (б) на f (x) (f (x) > 0),

дістанемо:

 

. (в)

 

 

 

(г)

 

. (д)

 

,

 

оскільки

 

.

 

маємо:

 

 

Зрештою, нерівність (д) набере такого вигляду:

 

. (е)

 

Отже,

 

. (330)

 

(330) в (329), дістанемо:

 

, що й потрібно було довести.

 

Приклад 1. Випадкова величина Х має закон розподілу

 

N (– 2; 4).

 

, якщо ( = 4(.

 

Розв’язання.

 

Оскільки a = – 2, (x = 4, D (Х) = 16, то згідно з (328) маємо:

 

.

 

, якщо ( = 10.

 

Розв’язання: За умовою задачі маємо: n = 400, p = 0,9; q = 0,1; ( = 10.

 

M (Х) = np = 400 ( 0,9 = 360; D (Х) = npq = 360 ( 0,1 = 36.

 

.

 

3. Теорема Чебишова

 

Нехай задано n незалежних випадкових величин X1, X2, … Xn, які мають

обмежені M (Хі) (і = 1,…, n) і дисперсії яких D(Хі) не перевищують

деякої сталої С (С > 0), тобто D(Хі) ( C. Тоді для будь-якого малого

додатного числа ( імовірність відхилення середнього арифметичного цих

величин

 

 

від середнього арифметичного їх математичних сподівань

 

,

 

взятого за абсолютним значенням на величину (, прямуватиме до одиниці зі

збільшенням числа n:

 

 

або

 

. (331)

 

!

 

:

 

.

 

 

.

 

Ураховуючи умову D(Хi) ( C, записуємо:

 

.

 

Тоді при n ( ( дістаємо

 

.

 

Оскільки ймовірність не може бути більшою за одиницю, а нерівність є не

строгою, одержимо

 

 

 

що й потрібно було довести.

 

Приклад 3. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що

мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити

ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих величин від

середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною

-----> Page:

0 [1] [2] [3] [4]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ