Реферат на тему:
Закон великих чисел. граничні теореми теорії ймовірностей
1. Закон великих чисел
Математичні закони теорії ймовірностей одержані внаслідок формалізації
реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим
подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них
виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого
числа проведених експериментів відносна частота події W(A) виявляє
стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності P (A); середнє
арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її
математичного сподівання.
Усі ці явища об’єднують під спільною назвою закону великих чисел, який
можна загалом сформулювати так: у разі великого числа експериментів, що
здійснюються для вивчення певної випадкової події або випадкової
величини, середній їх результат практично перестає бути випадковим і
може передбачатися з великою надійністю.
Закон великих чисел об’єднує кілька теорем, у кожній з яких за певних
умов виявляється факт наближення середніх характеристик під час
проведення великої кількості експериментів до певних невипадкових,
сталих величин.
Для доведення цих теорем використовується нерівність Чебишова.
2. Нерівність Чебишова
.
Це можна записати так:
. (328)
будуть протилежними (рис. 105).
Рис. 105
А тому
(329)
. (а)
.
Розглянемо нерівність:
. (б)
Помноживши ліву і праву частини нерівності (б) на f (x) (f (x) > 0),
дістанемо:
. (в)
(г)
. (д)
,
оскільки
.
маємо:
Зрештою, нерівність (д) набере такого вигляду:
. (е)
Отже,
. (330)
(330) в (329), дістанемо:
, що й потрібно було довести.
Приклад 1. Випадкова величина Х має закон розподілу
N (– 2; 4).
, якщо ( = 4(.
Розв’язання.
Оскільки a = – 2, (x = 4, D (Х) = 16, то згідно з (328) маємо:
.
, якщо ( = 10.
Розв’язання: За умовою задачі маємо: n = 400, p = 0,9; q = 0,1; ( = 10.
M (Х) = np = 400 ( 0,9 = 360; D (Х) = npq = 360 ( 0,1 = 36.
.
3. Теорема Чебишова
Нехай задано n незалежних випадкових величин X1, X2, … Xn, які мають
обмежені M (Хі) (і = 1,…, n) і дисперсії яких D(Хі) не перевищують
деякої сталої С (С > 0), тобто D(Хі) ( C. Тоді для будь-якого малого
додатного числа ( імовірність відхилення середнього арифметичного цих
величин
від середнього арифметичного їх математичних сподівань
,
взятого за абсолютним значенням на величину (, прямуватиме до одиниці зі
збільшенням числа n:
або
. (331)
!
:
.
.
Ураховуючи умову D(Хi) ( C, записуємо:
.
Тоді при n ( ( дістаємо
.
Оскільки ймовірність не може бути більшою за одиницю, а нерівність є не
строгою, одержимо
що й потрібно було довести.
Приклад 3. Дисперсія кожної із 4500 незалежних випадкових величин, що
мають один і той самий закон розподілу ймовірностей, дорівнює 5. Оцінити
ймовірність того, що відхилення середнього арифметичного цих величин від
середнього арифметичного їх математичних сподівань, взяте за абсолютною
величиною, не перевищить 0,4.
Розв’язання.
Використовуючи нерівність Чебишoва для теореми Чебишoва, одержимо:
Приклад 4. Унаслідок медичного огляду 900 допризовників було виявлено,
що середня маса кожного з них на 1,2 кг більша від середньої маси
попереднього призову. Чи можна це констатувати як випадковість, якщо
середнє відхилення маси допризовника дорівнює 8 кг?
Розв’язання.
Оскільки ця ймовірність дуже мала, відхилення маси можна вважати
невипадковим.
4. Теорема Бернуллі
Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з n незалежних
експериментів є величиною сталою і дорівнює р, то при необмеженому
збільшенні числа експериментів n ( ( імовірність відхилення відносної
частоти появи випадкової події W(A) від імовірності р, взятої за
абсолютною величиною на ( (( > 0) прямуватиме до одиниці зі зростанням
n, що можна записати так:
(332)
!
Доведення. Оскільки W(A) = m / n, де m — число експериментів — яких
випадкова подія А спостерігалась, n — загальне
, де Хі — дискретна випадкова величина, яка може набувати лише одного з
можливих значень: 0 або 1. У табличній формі закон дискретної випадкової
величини Хі можна записати так:
хі 0 1
рі q p
Числові характеристики Хі:
M(Xi) = 0 q + 1 p = p;
M(X2i) = p;
D(Xi) = M(X2i) – M2(Xi) = p – p2 = p(1 – p) = pq.
Нерівність Чебишова для теореми Бернуллі матиме такий вигляд:
. (333)
Приклад 5. Імовірність виготовити стандартну деталь робітником дорівнює
0,95. Контролю підлягає 400 деталей. Оцінити ймовірність відхилення
відносної частоти появи стандартної деталі W(A) від імовірності 0,95 не
більше ніж на величину 0,02.
Розв’язання. За умовою задачі: р = 0,95; q = 0,05; n = 400. На підставі
(333) дістаємо:
Приклад 6. Скільки необхідно провести експериментів n, щоб імовірність
відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності
р = 0,85, взяте за абсолютною величиною, на ( = 0,001, була б не меншою
за 0,99.
Розв’язання. Із умови задачі маємо р = 0,85; q = 0,15; ( = 0,001,
5. Центральна гранична
теорема теорії ймовірностей
(теорема Ляпунова)
5.1. Характеристичні функції
та їх властивості
Для доведення центральної граничної теореми використовуються
характеристичні функції.
— уявна одиниця.
Така випадкова величина називається комплексною.
Характеристичною функцією називають математичне сподівання від eitХ:
. (334)
Якщо Х є дискретною, то
. (335)
Якщо Х є неперервною, то
. (336)
Основні властивості (x(t):
. Прирівнявши параметр t = 0, одержимо
, (337)
оскільки і2 = – 1 .
Якщо взяти другу похідну від (x(t) за параметром і при цьому t = 0, то
одержимо:
.
Отже,
. (338)
4. Якщо випадкові величини Y і Х пов’язані співвідношенням Y = ах + b,
де а і b є сталими, то їх характеристичні функції пов’язані між собою
так:
.
Отже,
. (339)
характеристична функція:
. (340)
. (341)
Приклад 7. Неперервна випадкова величина X має закон розподілу N (0; 1).
Знайти характеристичну функцію для цього закону.
, то
,
.
Отже, для нормованого нормального закону розподілу випадкової величини Х
характеристична функція
. (342)
5.2. Центральна гранична теорема
Розглядається один із найпростіших варіантів цієї теореми.
наближатиметься до нормального.
!
Доведення. Оскільки випадкові величини Хі мають один і той самий закон
розподілу, то кожна із них має одну і ту ж характеристичну функцію
(x(t). Згідно з (341) маємо:
.
Розвинувши (Y(t) в ряд Маклорена в околі точки t = 0 і обмежившись при
цьому трьома членами й залишковим членом в формі Лагранжа, запишемо:
, (343)
.
Із властивостей характеристичної функції випливає:
(x(0) = 1; ((x(0) = iM(Х) = 0, оскільки M(Х) = 0;
= – M(Х 2) = – (2.
l n ue th ?
?
?
?
3/4
A
$
????
????
AE
$
%H%iUAE···AEAE?·AE???AE?·?
$
$
AE
$
F6FtF?F>GpGiUAEU°°??z°m
AE
$
AE
&
$
$
????
????
$
$
$
„
1$`„
$
$
?Т?Т? вираз (342) набирає такого вигляду:
. (344)
і при цьому
.
Це випливає з того, що
.
.
Використовуючи властивість характеристичної функції (339), дістаємо:
, (345)
де
. (346)
. (347)
, одержимо:
то
.
Звідси випливає, що
.
Таким чином, доведено, що характеристична функція випадкової величини Z
при n ( ( дорівнює характеристичній функції нормованого нормального
закону, а звідси випливає, що Z і пов’язана лінійною залежністю величина
Y наближатимуться до нормального закону розподілу.
Розв’язання.
Знаходимо числові характеристики для Хі: M(Хі) = 0,06; D (Х) = 0,1.
Тоді
На підставі центральної граничної теореми маємо
.
Центральна гранична теорема була вперше використана для доведення
інтегральної теореми Муавра—Лапласа.
6. Теорема Муавра—Лапласа
У загальному випадку випадкові величини Х1, Х2, … Хn, що розглядаються в
центральній граничній теоремі, можуть мати довільні закони розподілу.
Якщо Хі є дискретними і мають лише два значення: P (Хі = 0) = q,
P (Xі = 1) = p, то приходимо до теореми Муавра—Лапласа, яка є
найпростішим випадком центральної граничної теореми.
Якщо здійснюється n незалежних експериментів, у кожному з яких
імовірність появи випадкової події А є величиною сталою і дорівнює p,
то для інтервалу [(; () справедлива рівність:
(348)
!
— поява випадкової події в n експериментах є випадковою величиною із
числовими характеристиками:
.
що і треба було довести.
Приклад 9. Завод виготовляє 80% виробів першого сорту. Навмання
вибирають 800 виробів. Яка ймовірність того, що число виробів першого
сорту виявиться в межах від 600 до 680 штук?
Розв’язання. Із умови задачі маємо p = 0,8; q = 0,2; n = 800; ( = 700,
( = 620.
Згідно з (259) дістанемо:
Теоретичні запитання до теми ?
Як сформулювати в загальному вигляді закон великих чисел?
Сформулювати нерівність Чебишoва.
Сформулювати умови, які мають виконуватися для нерівності Чебишoва.
Де використовується нерівність Чебишoва?
Сформулювати теорему Чебишoва.
Які умови мають виконуватися для доведення теореми Чебишoва?
Записати нерівність Чебишoва для теореми Чебишoва.
.
Сформулювати теорему Бернуллі.
Записати нерівність Чебишoва для теореми Бернуллі.
.
Дати визначення характеристичної функції для випадкової величини.
Чому дорівнює (x(0) ?
Чому дорівнює ((x(0) ?
Чому дорівнює (((x(0) ?
Чому дорівнює (Y(t), якщо Y = ax + b?
?
Сформулювати центральну граничну теорему.
Довести, що для нормованого нормального закону розподілу (х(t) = … .
Доведення центральної граничної теореми.
Використання центральної граничної теореми для доведення інтегральної
теореми Муавра—Лапласа.
Приклади до теми
Імовірність появи випадкової події в одному експерименті є величиною
сталою і дорівнює 0,3. Із якою імовірністю можна стверджувати, що
відносна частота цієї події при 100 експериментах буде знаходитись у
межах [0,2; 0,4].
Відповідь. 0,98.
Випадкова подія А може здійснитися при одному експерименті із
імовірністю р. Експеримент повторили n раз. Яка ймовірність того, що при
цьому виконується нерівність
.
Відповідь. 0,9544.
, коли відомо, що D (Х) = 4.
Відповідь. ( = 20.
Із якою надійністю середнє арифметичне вимірів певної величини
відповідає істинному виміру цієї величини, якщо було здійснено 500
вимірювань із точністю 0,1 і при цьому дисперсії випадкових величин —
результатів вимірювання — не перевищують 0,3.
Відповідь. 0,94.
Скільки необхідно провести вимірів діаметра втулки, щоб середнє
арифметичне цих вимірів відрізнялося від істинного розміру діаметра
втулки не більше як 0,05 із надійністю 90%, якщо дисперсії випадкових
величин (результатів вимірів) не перевищують 0,2.
Відповідь. n = 800.
Імовірність того, що за час t із ладу вийде один конденсатор, дорівнює
0,2. Яка ймовірність того, що за час t із 100 конденсаторів із ладу
вийде:
1) не менш як 28 конденсаторів;
2) від 14 до 26 конденсаторів?
Відповідь. 1) 0,98; 2) 0,9.
При відливанні відливок, із яких потім виготовляють на верстатах деталі,
одержують у середньому 20% браку. Скільки необхідно запланувати
відливок, щоб із імовірністю не меншою за 0,95 була забезпечена програма
випуску деталей, для виготовлення яких необхідно 50 бездефектних
відливок.
Відповідь. n = 305.
Здійснюється вибіркове обстеження партії електроламп для визначення
тривалості їх горіння. Скільки необхідно перевірити електролампочок, щоб
із імовірністю не меншою за 0,9876 можна було стверджувати, що середня
тривалість горіння лампочки для всіх n штук перевірених відхилялось від
її середньої величини не більше ніж на 10 годин, якщо середнє
квадратичне відхилення тривалості горіння лампочок дорівнює 80 годин.
Відповідь. n = 4776.
від його математичного сподівання можна очікувати із імовірністю
0,9544?
Відповідь. 0,04.
Верстат із програмним управлінням виготовляє за робочу зміну 900
виробів, із яких в середньому 1% складає брак. Знайти наближено
ймовірність того, що за зміну буде виготовлено не менше 810 доброякісних
виробів, якщо вони виявляються доброякісними незалежно один від одного.
Відповідь. 0,99865.
.
.
У касі певного закладу в наявності є 4000 гривень. У черзі знаходиться
n = 30 робітників. Сума X, яку потрібно виплатити кожному, є випадковою
величиною із математичним сподіванням, рівним 200 грн. і середнім
квадратичним відхиленням ( = 60 грн. Знайти ймовірність того, що суми,
котра є в касі, не вистачить усім людям, які стоять у черзі.
грн.;
грн.;
. Не вистачить.
Зберігається умова задачі 12, тільки в черзі стоїть n = 15 робітників і
сума Х, яку повинен одержати кожний із них, є випадковою величиною із
значеннями M (X) = 150 грн., ( (Х) = 60 грн. Яка ймовірність того, що
суми вистачить усім людям?
грн.;
.
Усім робітникам вистачить суми, що є в касі.
Залізничний состав складається із 30 вагонів. Маса кожного з них є
випадковою величиною Х із математичним сподіванням M(X) = 400 т і
середнім квадратичним відхиленням ((Х) = 20 т. Локомотив може нести масу
не більшу за 12100 т. Якщо маса составу перевищує допустиму, то
необхідно причеплювати другий локомотив. Знайти ймовірність того, що
одного локомотива не досить для перевезення составу.
— маса составу.
;
.
. Знайти наближено ймовірність того, що комплекс безвідмовно пропрацює
не менш як 20 год.
Відповідь:
.
Провести апроксимацію нормального закону із параметрами а, ( за
допомогою суми n незалежних випадкових величин Х1, Х2, …, Хn, кожна із
яких має рівномірний закон розподілу на проміжку (0; 1(
.
Верстат-автомат виготовляє за робочу зміну n = 1000 виробів, із яких
брак у середньому становить 5%. На скільки доброякісних виробів k має
бути розрахований бункер для доброякісних виробів, щоб імовірність його
переповнення за зміну не перевищувала 0,001.
Відповідь.
ЛІТЕРАТУРА
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное
приложение. — М.: Наука, 1988.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.
PAGE
М(Х)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
