UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння першого порядку. Метод ламаних Ейлера. Наближене розв’язання диференціального рівняння І порядку. Загальний розв’язок рівняння
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось6182
Скачало532
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

ння (функція f(x,y)

задовольняє умови теореми Коші про існування і єдність розв’язку,

причому відрізок [х0,b] входить в окіл, в якому розв’язок рівняння

(3)-(4) існує і єдиний. Графік цього розв’язку називається інтегральною

кривою диференціального рівняння (3).

 

Суть методу Ейлера полягає в тому, що маючи точне чи наближене

значення у(х) розв’язку диференціального рівняння (3) для якогось

конкретного значення х, можна обчислити наближено і значення у(х+(х)

 

розв’язку для близької точки х+(х; для цього замість повного приросту

функції у(х) на відрізку [х,х+(х] береться наближене значення її

приросту – її диференціал у’(х)*(х:

 

(у(х)=у(х+(х)-у(х) (у’(х)*(х

 

звідси одержуємо:

 

у(х+(х)(у(х)+у’(х)*(х (5)

 

Похідна у’(х) в точці х знаходиться з самого диференціального

рівняння (3), яке і вказує, як знайти числове значення похідної

розв’язку в точці х, коли відомий сам розв’язок в точці х:

 

у’(x)=f(х,у(х)) (6)

 

З (5) і (6) одержуємо

 

у(х+(х)(у(х)+f(х,у(х))*(х,

 

} (7)

 

у’(х+(х)=у’(х)+f(х,у’(х))*(х,

 

Так само, маючи наближене значення у(х+ х), обчислене за цією ж

формулою обчислити значення

 

У((х+(х)+(х), у(х+3(х), у(х+4(х) і т.д.

 

Таким чином, маючи значення у(х0)=у0 задане початковою умовою (2),

можна за формулою (7) поступово обчислювати значення

 

У(х0+2(х), у(х0+3(х) і т.д.

 

Нанести знайдені точки на координатну площину і сполучивши їх

відрізками прямих, одержимо ламану Ейлера, яка є наближеним зображенням

інтегральної кривої.

 

Враховуючи сказане, знаходження розв’язку диференціального рівняння

(3)-(4) організуємо в такий спосіб.

 

Розіб’ємо відрізок [х0,b] на n рівних частин, так що довжина h=(х

кожної з них дорівнюватиме

 

h=b-x0/n.

 

Точки поділу х1 , х2 , … , хі , … , хn відрізка [х0,b] матимуть

координати

 

Хі+1=хі+h , і= 0 , 1 , 2 , … , n-1 . (8)

 

Позначимо через уі наближене значення у’(хі) розв’язку в точці хі:

 

Уі=у’(хі) (9)

 

Тоді, поклавши (х =h, з рівностей (7), враховуючи (8) і (9)

матимемо

 

У’(xi+(x)=y’(xi+h)=y’(xi+1)=yi+1

 

y’(xi+(x)=yi+1=yi+f(xi,yi)*(x, i=0 , 1 , 2 , … , n-1 .

(10)

 

Маючи у0 з початкової умови (4), за формулою (10) можна обчислити

у1, у2, … ,у10:

 

y1=у0=f(x0,y0)*h,

 

y2=y1+f(x1,y1)*h,

 

y3=y2=f(x2,y2)*h,

 

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

 

yn=yn-1+f(xn-1,yn-1)*h.

 

Сполучаючи на координатній площині точки (х0,у0), (х1, у1), … ,

(хn,yn) відрізками прямих, одержимо ламану лінію, яка називається

ламаною Ейлера і є наближеним зображенням інтегральної кривої – графіка

розв’язку рівняння (3) з умовою (4)(див. рисунок)

 

 

Геометрично відрізок, що сполучає точки (хі.уі) і (хі+1, уі+1) є

відрізок дотичної до інтегральної кривої, що проходить через точку (хі,

уі).

 

3. Загальний розв’язок рівняння у’=у+3 і задача Коші для рівняння з

 

початковою умовою: у(0)=1.

-----> Page:

[0] 1 [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ