Вплив грузлого тертя
Вище передбачалося, що матеріал стрижнів ідеально пружний і тертя
відсутнє. Розглянемо вплив внутрішнього тертя, вважаючи, що воно є
грузлим; тоді зв’язок напруг із деформаціями описується співвідношеннями
.
(223)
Нехай стрижень із розподіленими параметрами робить вільні подовжні
коливання. У цьому випадку подовжня сила запишеться у виді
. (224)
З рівняння руху елемента стрижня вище було отримане співвідношення (174)
.
Підставляючи сюди вираз (224), приходимо до основного диференціального
рівняння
,
(225)
яке відрізняється від рівняння (175) другим додатком, що виражає вплив
сил грузлого тертя.
Слідуючи методу Фур’є, шукаємо рішення рівняння (225) у виді
,
(226)
функція тільки часу t.
При цьому кожний член ряду повинний задовольняти граничним умовам
задачі, а вся сума – також і початковим умовам. Підставляючи вираз (226)
у рівняння (225), і вимагаючи, щоб рівність задовольнялася для
будь-якого номера r, одержимо
,
(227)
де штрихи позначають диференціювання по координаті x, а точки –
диференціювання за часом t.
, приходимо до рівності
,
(228)
.
З цього випливають рівняння
(229)
.
(230)
`
b
d
?
O
?
¬
b
O
¬
????ом не залежать від грузлих властивостей стрижня, тобто форми вільних
загасаючих коливань збігаються з формами вільних незатухаючих коливань.
Тепер перейдемо до рівняння (230), що описує процес загасаючих коливань;
його рішення має вид
, (231)
де
;
(232)
. (233)
Вираз (232) визначає темп загасання, а вираз (233) – частоту коливань.
Таким чином, повне рішення рівняння задачі має вид
. (234)
завжди можна знайти по заданих початкових умовах. Нехай початкові зсуви
і початкові швидкості всіх перетинів стрижня задані в такий спосіб:
,
(235)
– відомі функції.
відповідно до рівнянь (211) і (212) маємо
й інтегруючи в межах усієї довжини стрижня, одержимо
(236)
для будь-якого номера r.
є дійсне число. З виразу (233) видно, що це має місце лише для декількох
початкових значень r, поки виконується нерівність
.
(237)
стає недійсною. При цьому відповідні члени загального рішення (234) уже
не будуть описувати загасаючі коливання, але будуть представляти
аперіодичний загасаючий рух. Іншими словами, коливання, у звичайному
змісті слова, виражає тільки деяка кінцева частина суми (234).
Всі ці якісні висновки відносяться не тільки до випадку подовжніх
коливань, але і до випадків крутильних і згинальних коливань.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter