Дія зосереджених сил
Тут представлені розв’язки задач стійкості тонких ізотропних прямокутних
пластин, стислих зосередженими силами. Труднощі розв’язку таких задач
пов’язані з формуванням математичних моделей зосереджених сил і перші
результати опубліковані лише в 50-х роках XX сторіччя. У фундаментальних
монографіях і довідниках наведені результати тільки для шарнірного
обпирання по контурі прямокутної пластини [ 47-49,71,262,299,300,316 і
ін.], а врахування інших крайових умов ще більше ускладнює задачу, що,
очевидно, визначило відсутність відповідних розв’язків.
Таблиця 6.7
Коефіцієнти Н для різних пластин з неоднорідними граничними умовами
Обпирання кромок, паралельних осі Оу Умови обпирання кромок пластини,
паралельних осі Oх
Одна кромка шарнірно обперта, інша вільна.
Критичні зусилля визначаються з рівняння (6.95)
Шарнірне обпирання двох кромок. Використовуються коефіцієнти (6.92)
а/в 1,0 1,5 2,0 3,0
Еталонні результати [49] 2,36 2,30 2,19 1,72
Метод
Жорстке защемлення двох кромок. Використовуються (6.93) МГЕ з утриманням
одного члена ряду 3,92569 4,10594 4,28842 3,38869
Жорстке защемлення й шарнірне обпирання. Використовуються (6.94) МГЕ
3,11917 3,30560 3,09891 2,42006
Дві кромки вільні.
Критичні зусилля визначаються з рівняння (6.96)
Шарнірне обпирання двох кромок. Використовуються (6.92) МГЕ 2,04314
1,71587 1,58213 1,48182
Жорстке защемлення двох кромок. Використовуються (6.93) МГЕ 3,73318
3,38869 2,72807 2,19411
Жорстке защемлення й шарнірне обпирання. Використовуються (6.94) МГЕ
3,09891 2,42006 2,09279 1,84151
Одна кромка жорстко затиснена, інша вільна.
Критичні зусилля визначаються з рівняння (6.97)
Шарнірне обпирання двох кромок. Використовуються (6.92) МГЕ 2,39168
2,41803 2,62574 3,66935
Жорстке защемлення двох кромок. Використовуються (6.93) МГЕ 3,98547
4,24485 4,29956 4,73930
Жорстке защемлення й шарнірне обпирання, Використовуються (6.94) МГЕ
3,19922 3,30966 3,36032 4,14556
Для розв’язання задач стійкості прямокутних пластин використовуємо
алгоритм числено-аналітичного варіанта МГЕ, варіаційний метод
Канторовича-Власова й диференціальне рівняння технічної теорії стійкості
(6.66)
й проінтегруємо у межах ширини пластини 0-а. Якщо кромки пластини,
паралельні осі Оу, мають шарнірне обпирання, то рівняння (6.98) після
процедури методу Канторовича-Власова розпадається на n незалежних
звичайних диференціальних рівнянь, кожному з яких буде відповідати своє
критичне зусилля.
, що буде сходитися до точного значення.
. Варіаційний метод Канторовича-Власова приводить коефіцієнти рівнянь
(6.99) до виду (див. 6.56)
(6.101)
Існують різні способи врахування зосереджених стискаючих сил.
врахована по математичній моделі за допомогою дельта-функції Дірака
(6.102)
, приводять коефіцієнти (6.101) до виду
й з непарними членами ряду (67.2). Крім схеми по рис. 6.12, зосереджену
силу можна врахувати іншим способом, використовуючи асимптотичний
підхід, запропонований проф. С.П. Тимошенко [315, 316].
.
буде прагнути до зосередженої сили, але при деякому досить малому
значенні с обчислювальні можливості цієї моделі будуть вичерпані.
.
Шарнірне обпирання двох поздовжніх країв
Жорстке защемлення двох поздовжніх країв пластин
Коефіцієнти А,
Коефіцієнти А,
Жорстке защемлення одного краю й шарнірне обпирання іншого
Представлені моделі зосереджених сил по рис. 6.12 і 6.13 дозволяють
скласти аналітичні рівняння для пошуку критичних сил. Кожному рівнянню
(6.99) відповідає розв’язок задачі Коші, який можна представити в
матричній формі в такий спосіб
по алгоритму МГЕ перетвориться до наступного однорідного алгебраїчного
рівняння
Розкриваючи визначник матриці коефіцієнтів, одержуємо рівняння для
критичних сил
приводить до значень критичних сил, зведених у табл. 6.9
Таблиця 6.9
Члени ряду (5)
– ??¤¦3/4A,
.
R
j
v
x
TH
a
a
ae
?¦.
x
a
® I%aF?
Oe0Oyx I%?F?
Oe0Oyx I%?F?
haei@?
hc( @?
<u
I%?FU
Oe0<u
I%?FU
???F??????
???F??????
???F??????
???F??????
???F??????
haei@?
hc( @?
hc( @?
????????? ?умови схеми А по рис. 6.12 неможливо, зосереджена сила
реально може бути тільки розподіленою й дійсна критична сила буде більше
результату табл. 6.9.
При жорсткому защемленні кромок, паралельні осі Ох, крайова задача й
рівняння для критичних сил приймуть вид
(7.108)
Жорстке защемлення й шарнірне обпирання кромок, паралельні осі Ох,
приводить до наступної крайової задачі й рівняння
(6.109)
Критичні сили, визначені з (6.108) і (6.109), наведені в табл. 6.11.
Рівняння крайової задачі схеми В також формуємо по алгоритму МГЕ. У
граничних точках модулів 2, 3 рівність кінематичних і статичних
параметрів рівняння (6.105) забезпечує безперервність аналогічних
параметрів пластини.
й Y дискретизованої пластини для шарнірного обпирання кромок,
паралельні осі ОХ (рис. 7.13), де враховуємо безперервність параметрів у
точках 2, 3 і крайові умови
Матриця коефіцієнтів рівняння стійкості прийме вид
, що є точним результатом, тобто матриця (6.111) точно відображає задачу
стійкості шарнірно обпертої пластини. Значення критичних сил схеми В по
рис. 6.13 при зменшенні величини С наведені в табл. 6.10.
Таблиця 6.10
, Y (6.110). Після врахування даних умов матриця стійкості прийме вид
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (6.112)
1 -а13 -а14 -1
2 -а23 -а24 -1
3 а33 а34 -1
4 а43 а44 -1
5 А11 А12 -А13 -А14 -1
6 А21 А22 -А23 -А24 -1
7 -А31 -А32 А33 А34 -1
8 -А41 -А42 А43 А44 -1
9 а11 а12 -а13 -а14
10 а21 а22 -а23 -а24
11 -1 -а31 -а32 а33 а34
12 -1 -а41 -а42 а43 а44
Критичні сили задачі із даною матрицею наведені в табл. 6.11. Матриця
стійкості для жорсткого защемлення однієї кромки й шарнірного обпирання
іншої в напрямку осі ОХ запишеться в такий спосіб
і розрахункових схем А, В.
Таблиця 6.11
А 8,2108
В 9,0336
В 9,1265
В 7,4240
До задач із неоднорідними граничними умовами відносяться задачі
стійкості при дії стискаючих сил на вільних краях пластини. У цьому
випадку на вільному краї виникає неоднорідна гранична умова для
приведеної поперечної сили виду (6.67), а зосереджену стискаючу силу в
алгоритмі МГЕ можна врахувати тільки за схемою А (рис. 6.12). Якщо
застосувати до виразу (6.67) процедуру методу Канторовича-Власова й
урахувати зосереджену силу по формулі (6.102), то одержимо крайову умову
виду
(6.114)
Дану неоднорідну крайову умову необхідно використовувати при виведенні
рівнянь для критичних сил. Розглянемо шарнірне обпирання однієї кромки й
вільний край іншої кромки (рис. 6.14).
й умову (6.114)
Рівняння стійкості при розкритті матриці коефіцієнтів прийме вид
(6.115)
При жорсткому защемленні одного краю й вільного іншого розв’язок
крайової задачі й рівняння критичних сил запишуться в такий спосіб
(6.116)
Якщо два краї пластини вільні (рис. 6.15), то для розв’язання даної
крайової задачі необхідно врахувати неоднорідні крайові умови в матриці
початкових і кінцевих параметрів одночасно. Це приведе до накладення 2 і
4 стовпців матриці фундаментальних функцій рівняння (6.105). Далі
здійснюється перенос кінцевих параметрів за звичайною схемою
Рис. 6.15
Розкриваючи визначник матриці коефіцієнтів, одержуємо рівняння для
обчислення критичних сил
.
Таблиця 6.12
А 5,4267
Аналіз даних таблиць 6.11 і 6.12 показує, що МГЕ дозволяє досить
ефективно й точно розв’язувати різноманітні задачі стійкості тонких
пластин. Практична цінність представленої методики підвищується, якщо
врахувати, що алгоритм МГЕ можна застосувати до задач стійкості
просторових пластинчастих систем.
Відзначимо важливий висновок, що випливає з п. 6.6, 6.7. Він полягає в
тому, що для успішного розв’язання складних задач теорії пластин
(відповідно й теорії оболонок) необхідно одночасно використовувати
значний арсенал ефективних і досить потужних методів математичної
фізики. У п. 6.7, як і в п. 6.6, було потрібно відразу застосувати:
1. Метод поділу змінних Фур’є;
2. Варіаційний метод Канторовича-Власова;
3. Метод розв’язання крайових задач одномірних лінійних систем МГЕ.
4. Метод малого параметра.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
