Елементи теорії Власова
Пологою називається оболонка, у якої стріла підйому не перевищує
найменшого лінійного розміру в плані.
Напружений стан пологої оболонки є перехідним від невигідного чисто
моментного напруженого стану пластин до вигідного безмоментного
напруженого стану оболонки. Цим і пояснюється широке поширення в
будівництві пологих оболонок як конструкцій, у яких з’єднується перевага
пластинок у смислі розподілу матеріалу по площі яка перекривається, з
перевагою оболонок у смислі розподілу напружень: по товщині.
Обмежимося розглядом пологих оболонок із прямокутним планом, які
найпоширеніші в будівництві. Теорія пологих оболонок створена В. 3.
Власовим і ґрунтується на наступних гіпотезах, що доповнюють основні:
1. Оболонка приймається настільки пологої, що геометрію її поверхні
можна приблизно вважати співпадаючою з геометрією площини її проекції.
Це значить, що для квадрата лінійного елемента пологої оболонки із
прямокутним планом замість виразу
можна прийняти
рівні відповідно x і y. Це означає також, що у вихідних рівняннях
гауссова кривизна
2. У рівняннях рівноваги можна відкинути члени, що містять поперечні
сили.
3. У виразах для згинальних деформацій досить зберегти тільки члени, що
містять переміщення в напрямку нормалі до серединної поверхні оболонки.
На рис. 7.6 і 7.23 показані зусилля, що діють на нескінченно малий
елемент серединної поверхні пологої оболонки із прямокутним планом.
Рис. 7.23. Зусилля в серединній поверхні
Розглядаючи обидва рисунки спільно і з огляду на прийняті гіпотези,
одержимо наступні рівняння рівноваги:
і при стремлінні R до нескінченності.
Два останніх рівняння отримані аналогічно рівнянням (5.13) і (5.14), а
середнє рівняння являє собою суму рівнянь (5.12) і (ж) з §7.3.
Вивод геометричних рівнянь можна проробити аналогічно тому, як це
зроблено для циліндричної оболонки. З урахуванням прийнятої гіпотези
геометричні рівняння виходять у такій формі:
(7.43)
Фізичні рівняння одержимо з рівнянь (7.11), увівши в них відповідні
позначення:
в такий спосіб:
, S у формулі (7.45) тотожно задовольняють першим двом рівнянням
рівноваги (7.42), а третє рівняння після підстановки в нього зусиль
(7.44) і деформацій з формул (7,43) здобуває вид
(а)
де оператори позначають:
(7.46)
Для виводу другого розв’язного рівняння виключимо з перших трьох
співвідношень (7.43) складового переміщення, як це робилося при виводі
рівнянь нерозривності деформацій. У результаті одержимо
Замінивши в цьому рівнянні деформації зусиллями за допомогою формул
(7.44), а потім зусилля функцією напружень за допомогою формул (7.45),
знайдемо
(б)
Таким чином, одержуємо основну систему рівнянь (а) і (б) теорії пологих
оболонок:
, і для оболонок, серединна поверхня яких утворена переміщенням плоскої
кривої по довільній напрямні зі збереженням паралельності цій кривій її
первісному положенню (оболонки переносу).
$ & FHUe
TH
j?
& HTH
yt’gf
Якщо серединна поверхня оболонки задана довільною функцією , то кривизни
також будуть функціями двох змінних. У цьому випадку диференціальні
оператори (7.46) приймуть інший вид.
Система диференціальних рівнянь (7.47) узагальнює дві задачі теорії
пружності: плоску задачу і задачу про згинання пластинки. Дійсно,
вважаючи головні кривизни оболонки рівними нулю, одержуємо , а система
розпадається на два незалежних рівняння:
перше з яких являє собою рівняння Софи Жермен для згинання пластинки, а
друге – бігармонічне рівняння плоскої задачі теорії пружності.
Рішення системи (7.47) представляє більші труднощі, доцільно
застосовувати варіаційні методи рішення: Бубнова-Гальоркіна або метод
Рітца-Тимошенко. Розглянемо рішення задачі для пологої оболонки методом
Бубнова-Гальоркіна у формі, розробленої для оболонок В. 3. Власовим.
Функції напружень і прогинів представимо у формі нескінченних рядів:
Тут функції , , , , є лінійними комбінаціями фундаментальних балочних
функцій, що представляють собою рішення диференціальних рівнянь вільних
коливань балок і задовольняючих умовам закріплення відповідних країв
оболонки.
Постійні й визначаються із системи варіаційних рівнянь
Бубнова-Гальоркіна:
(7.48)
де a і b — розміри оболонки в плані.
Оскільки фундаментальні балочні функції, а також їх другі і четверті
похідні мають властивість ортогональності, то в системі рівнянь (7.48)
зникнуть всі коефіцієнти, що мають різні індекси. У результаті для
визначення кожного коефіцієнта, що залишився, збережеться по два
рівняння наступного виду:
(7.49)
де
Вирішивши систему рівнянь (7.49), знайдемо коефіцієнти:
Поняття про розрахунок гнучких пологих оболонок
Розглянута лінійна теорія оболонок не дозволяє вирішити всі проблеми їх
розрахунку. Так, питання втрати стійкості оболонок, пов’язаної з
великими деформаціями, вимагають застосування нелінійної теорії. У
багатьох випадках втрата стійкості супроводжується появою порівняно
дрібних хвиль, розміри яких малі в порівнянні з радіусами кривизни або з
габаритними розмірами оболонки. Тому в межах кожної вм’ятини можна
оболонку розглядати як пологу і застосовувати для розрахунку відповідну
теорію В. 3. Власова з урахуванням геометричної нелінійності.
Доповнюючи геометричні співвідношення теорії пологих оболонок (7.43)
нелінійними членами, одержуємо, як і в теорії гнучких пластинок:
Виключая із цих рівнянь складові переміщення u і , приходимо до рівняння
нерозривності, що зв’язує деформації в серединній поверхні оболонки:
(а)
Тут — оператор, одержуваний з виразу (5.39) заміною функцій на w, а —
оператор (7.46).
Уводячи функцію напружень у формі (7.45), за допомогою (7.44) знаходимо
з рівняння (а)
(б)
Виключая із рівнянь рівноваги (7.42) зусилля за допомогою співвідношень
(7.43)-(7.45), одержуємо
(в)
Рівняння (б) і (в) утворять систему нелінійних рівнянь рівнянь Кармана
(5.38):
(7.50)
Перше з них виражає умову рівноваги елемента оболонки, друге – умову
нерозривності деформацій.
Рівняння (7.50) узагальнюють систему (7.47) на випадок оболонки з
великими прогинами, а при значеннях кривизн, рівних нулю, перетворюються
в рівняння (5.38) для гнучких пластинок.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
