Для розв’язання рівняння (6.66) використовуємо тільки один член ряду (6.2)
| (6.89) |
Процедурою методу Канторовича-Власова рівняння (6.66) зводиться до задачі Коші для звичайного диференціального рівняння
| (6.90) |
де інші коефіцієнти й система ортонормованих фундаментальних функцій визначаються виразами (6.56), (6.58)-(6.61). Неоднорідну крайову умова в диференціальній формі (6.67) також необхідно звести до одномірної крайової умови, але вже в інтегральній формі. Після відповідних перетворень одержуємо вираз для узагальненої поперечної сили при (крайова умова)
| (6.91) |
де – узагальнений кут повороту стержня, що заміняє пластину.
Дану умову варто використовувати при виведені рівняння для критичних сил.
Крайові умови пластини повинні виконуватися у двох напрямках. У напрямку осі Ох крайові умови виконуються вибором функції . Для деяких випадків обпирання поздовжніх кромок співвідношення методу приймуть вид.
Шарнірне обпирання двох країв (див. рис. 6.11)
| (6.92) |
Жорстке защемлення двох країв
| (6.93) |
Один край жорстко затиснений, інший край шарнірно обпертий
| (6.94) |
У напрямку осі Оу граничні умови необхідно враховувати при розв’язанні крайової задачі для рівняння (6.49), у результаті можна одержати рівняння для критичних сил різних задач стійкості істотно простіше, ніж у роботі [149]. Представимо деякі з них.
Один край шарнірно обпертий, інший край вільний (у напрямку осі Оу).
Кінцеві граничні параметри узагальненого стержня, що заміняє прямокутну пластину, переносимо на місце нульових початкових параметрів, ураховуємо й умову (6.91). Використовуємо схему перетворень (1.46) для задачі по рис. 6.11
| 1 | 2 | 3 | 4 | =0 | |||||
| 1 | -1 | А12 | -А14 | ||||||
| 2 | А22 | -1 | -А24 | ||||||
| 3 | -А32 | А34 | |||||||
| 4 | -А42 | А44 |
Розкриваючи визначник матриці коефіцієнтів, одержимо трансцендентне рівняння для критичних сил виду
| (6.95) |
де аргумент фундаментальних функцій приймає значення .
Якщо фундаментальні функції рівняння (6.95) містять співвідношення (6.92), то це рівняння буде моделлю задачі стійкості пластини із трьома шарнірно обпертими краями й одним вільним краєм.
Два краї вільні.
Спочатку потрібно виконати перенос параметрів усередині вектора початкових параметрів. Для цього всі елементи четвертого стовпця множаться на величину й підсумуються з елементами другого стовпця
| 1 | 2 | 3 | 4 | – | =0. | ||||
| 1 | А11 | А12 | |||||||
| 2 | А21 | А22 | |||||||
| 3 | -А31 | -А32 | |||||||
| 4 | -А41 | -А42 |
Потім на місце нульових початкових параметрів переносяться ненульові граничні параметри , і
| 1 | 2 | 3 | 4 | =0. | |||
| 1 | А11 | -1 | |||||
| 2 | А21 | -1 | |||||
| 3 | -А31 | ||||||
| 4 | -А41 |
Перетворене рівняння крайової задачі приводить до наступного виразу для визначника матриці коефіцієнтів:
| (6.96) |
Один край жорстко затиснений, інший край вільний.
Схема розв’язку крайової задачі й рівняння для критичних сил приймуть вид
| 1 | 2 | 3 | 4 | – | =0. | ||||
| 1 | -1 | -А13 | -А14 | ) | |||||
| 2 | -1 | -А23 | -А24 | ||||||
| 3 | А33 | А34 | |||||||
| 4 | А43 | А44 |
| (6.97) |
Фундаментальні функції рівнянь (6.95)-(6.97) визначаються видом коренів характеристичного рівняння для рівняння (6.90). Розглянемо задачу стійкості, коли й . У цьому випадку стискаюче зусилля буде входити в коефіцієнт . Корені рівнянь (6.95)-(6.97) будуть критичними зусиллями втрати стійкості пластини з відповідними умовами обпирання. Найбільше просто вони можуть бути визначені методом послідовного перебору. Рекомендується початкове безрозмірне значення приймати рівним 0,001 і здійснювати пошук коренів із кроком при . Далі значення коефіцієнтів H можна обчислити по формулі . По даному алгоритмі була складена програма в середовищі програмування MATLAB за допомогою якої визначені коефіцієнти H для різних пластин з неоднорідними граничними умовами (див. табл. 6.7).
Аналіз даних, наведених у табл. (6.7), і представленої методики дозволяє зробити наступні висновки:
– Методом граничних елементів можна одержувати досить точні розв’язки задач стійкості тонких пластин з однорідними й неоднорідними граничними умовами при утриманні всього одного члена ряду.
– Визначення критичних напружень зводиться до пошуку коренів нелінійних трансцендентних рівнянь крайових задач стійкості.
– Рівняння для критичних сил МГЕ є визначником матриці коефіцієнтів розв’язку задачі Коші, який формується без залучення складних аналітичних перетворень і не містить точок розриву другого роду.
Крім розглянутих задач по МГЕ можуть бути враховані ортотропні властивості матеріалу, різні закони зміни товщини h у напрямку осі й сили в напрямку осі Ох, застосовані статичний і динамічний методи розв’язку задач стійкості пластинчастих систем, що істотно розширює область його застосування.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
