Зв’язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
Зв’язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука
Залежності між напругами й деформаціями носять фізичний характер.
Обмежуючись малими деформаціями, зв’язок між напругами і деформаціями
можна вважати лінійним.
При випробуванні стрижня на розтягання (про механічні випробування
матеріалів буде докладно розказано в наступному розділі) встановлена
пропорційна залежність між нормальною напругою і лінійною деформацією в
одному напрямку, що називається законом Гука:
називається модулем поздовжньої пружності.
Тим же експериментальним шляхом встановлений зв’язок між лінійними
деформаціями в поздовжньому й поперечному напрямках:
— другим пружним постійним, називаним коефіцієнтом Пуассона.
При механічних випробуваннях на чисте зрушення встановлена прямо
пропорційна залежність між дотичним напруженням і кутовою деформацією в
площині дії цієї напруги, що одержала назву закону Гука при зсуві:
є третьою пружною постійною і називається модулем зсуву. Однак ця
пружна постійна не є незалежною, тому що пов’язана з першими двома
залежністю
.FHJLNZ^„† UUeTHI
I
?
O
TH
a
?????*?^THI
O
a
a
??*?a
e
e
??*?Щоб встановити залежності між деформаціями й напругами, виділимо з
тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.3.1) і розглянемо дію тільки
нормальних напруг Різницею напруг на протилежних гранях паралелепіпеду
можна зневажити, тому що вона приводить до деформацій більш високого
порядку малості.
Визначимо подовження ребра паралельного напрузі При дії цієї напруги
відповідно до закону Гука (3.12) відбудеться відносне подовження ребра
Напруга викликає аналогічне подовження в напрямку, перпендикулярному
ребру
а в напрямку ребра – укорочення, що згідно (3.13) становить
або, з урахуванням виразу деформації
Аналогічно визначається відносне вкорочення ребра при дії напруги
На підставі принципу незалежності дії сил повне відносне подовження
ребра можна визначити як суму подовжень від дії кожної напруги:
або
Аналогічно можна визначити лінійні деформації по напрямках двох інших
осей:
Відповідно до закону Гука при зсуві (3.14) зв’язок між кутовими
деформаціями і дотичними напруженнями можна представити незалежно для
кожної із трьох площин, паралельних координатним площинам:
Таким чином, отримані шість формул, які виражають лінійну залежність між
складовими деформації і напруг в ізотропному пружному тілі й називаються
узагальненим законом Гука:
(3.16)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
