Коливання кругових кілець. Коливання в площині кільця
Розглянемо круговий брус малої кривизни постійного перерізу з радіусом R осьової лінії (мал.71,а). Будемо вважати брус нерозтяженим. Переміщення центра ваги поперечного перерізу, зафіксованого кутовою координатою , можна розкласти на радіальний і окружний компоненти – відповідно і . З умови нерозтяженості осі бруса випливає, що переміщення і зв’язані залежністю .
а) б)
Мал. 71
Кут повороту поперечного перерізу бруса в процесі руху визначається формулою
. (245)
Зміна кривизни бруса дорівнює похідній від по дузі
. (246)
Згинаючий момент у поперечному перерізі кільця
. (247)
Тепер складемо рівняння руху елемента бруса (мал.71,б). Крім перерахованих сил, на елемент діє також сила інерції
,
де маса одиниці довжини бруса.
Проектуючи прикладені до елемента сили на радіус, одержимо
. (248)
Рівність нулю суми проекцій усіх сил на напрямок дотичної приводить до рівняння
. (249)
Рівняння моментів має вид
. (250)
Виключимо з рівнянь (248) і (249) нормальну силу N, а поперечну силу Q замінимо її значенням із рівняння (250)
. (251)
Підставляючи сюди значення M із (247), одержимо рівняння руху в переміщеннях , і, нарешті, вилучаючи один із компонентів переміщення за допомогою умови нерозтяженості (244), прийдемо до рівняння, у яке входить єдина перемінна :
. (252)
Рішення рівняння руху (252) будемо шукати у виді
; .
При цьому для утворюється звичайне диференціальне рівняння
, (253)
.
Відповідно до загальних правил рішення диференціальних рівнянь варто знайти загальне рішення рівняння (253), що містить шість постійних, і підкорити його граничним умовам. На кожному кінці бруса повинні бути рівні нулю або компоненти переміщень , або відповідні їм внутрішні сили. Рівність нулю визначника системи, що виражає граничні умови, приводить до частотного рівняння.
Для замкнутого кільця граничні умови заміняються умовами періодичності, що виконуються, якщо прийняти
; . (254)
Підставляючи (254) у рівняння (253), установлюємо, що останнє задовольняється тотожно, якщо
. (255)
Формула (255) визначає частоти власних коливань кільця у своїй площині. Значенню відповідає нульова частота, тому що при формули (254) описують зсув кільця як жорсткого тіла.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
