Крутильні коливання валів і систем передач
Уявимо собі механічну систему, що складається із пружного вала з насадженими на нього дисками (рис. 15.23, ), що робить крутильні коливання. Нехай — моменти інерції мас дисків щодо осі вала, а — кути повороту дисків при коливанні; — жорсткості різних ділянок вала при крутінні:
.
Тут — довжина відповідної ділянки.
Оскільки являють собою крутні моменти, що викликають закручування відповідних ділянок вала на один радіан, то ; ; — крутні моменти, що виникають у перетинах при взаємному повороті першого й другого дисків на кут , другого й третього — на кут і т.д. (рис. 15.23, ).
| а | |
| б |
Рис. 15.23. Вал з дисками
Зневажаючи моментом інерції маси вала що обертається в порівнянні з моментами інерції обертових мас дисків, кінетичну енергію коливної системи можна представити у вигляді
| (15.65) |
Потенційна енергія розглянутої системи із ступенями волі за рахунок пружної деформації вала
,
або
| (15.66 |
Підставляючи вираження (15.65) і (15.66) у рівняння Лагранжа (15.56), одержимо наступні диференціальні рівняння вільних крутильних коливань вала:
| (15.67) |
Складаючи ці рівняння, одержимо , звідки
,
тобто момент кількості руху системи навколо осі вала при вільних коливаннях залишається постійним.
Надалі цей момент кількості руху будемо приймати рівним нулю. Цим самим виключаємо з розгляду будь-яке обертання вала як твердого тіла й розглядаємо тільки коливальний рух, викликуваний скручуванням вала.
Користуючись загальними методами рішення отриманої системи диференціальних рівнянь (15.67), рішення шукаємо у вигляді
| ; , | (15.68) |
Підставляючи рішення (15.68) у рівняння (15.67), будемо мати
| (15.69) |
Виключивши із цих рівнянь і , одержимо частотне рівняння для визначення .
Так, у випадку трьох дисків (рис. 15.24) система рівнянь (15.69) приймає вид
| (15.70) |
Склавши ці рівняння, одержимо
| . | (15.71) |
З першого й третього рівнянь системи (15.70) знайдемо, що
| ; . | (15.72) |
Підставляючи вираз (15.72) у формулу (15.71), будемо мати
| . | (15.73) |
Вирішуючи ці рівняння відносно , можна одержати два корені й , що відповідають двом головним видам коливань. Підставляючи знайдені значення й у рівняння (15.72), одержимо значення відносин амплітуд і для двох головних видів коливань і тим самим установимо стан системи під час коливань. Зазначені два види коливань для трьохмасової системи представлені на діаграмах і (рис. 15.24) відповідно для одновузлової й двовузлової форм коливань.
Рис. 15.24. Трьохдискова система
У випадку чотирьох обертових мас рівняння частоти одержимо, дорівнявши до нуля визначник рівнянь (15.67) при . Вирішуючи його, одержимо чотири корені рівняння, з яких один внаслідок вільного обертання вала як твердого тіла навколо його осі виявиться рівним нулю, а інші три (відмінні від нуля) дадуть частоти трьох головних коливань розглянутої системи.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
