Метод Бубнова – Гальоркіна
Метод Бубнова—Гальоркіна заснований на властивості ортогональності функцій. У курсі математичного аналізу дається наступне визначення ортогональних функцій: якщо є сімейство безперервних функцій
(а)
і інтеграл добутку будь-яких двох різних функцій цього сімейства в проміжку дорівнює нулю:
| (6.6) |
ці функції (а) утворять у цьому проміжку ортогональну систему. Наприклад, сімейство тригонометричних функцій
| (б) |
є ортогональною системою в проміжку
Дійсно,
| (в) |
причому, ці інтеграли вичерпують усілякі варіанти комбінування двох різних функцій сімейства (б).
На підставі леми з курсу математичного аналізу слідує: якщо одна з функцій тотожно дорівнює нулю, наприклад , то вона ортогональна до всіх без винятку функцій, тому що в цьому випадку виконується умова (6.6). Як приклад можна привести функцію
| (г) |
яка представляє собою ліву частину диференціального рівняння вигнутої осі балки. Ця функція тотожно рівна нулю при будь-яких значеннях x, і, відповідно,
Тут інтеграл береться по всій довжині балки L, і тому функція (г) ортогональна в проміжку до будь-якої функції.
Якщо функцію прогинів замінити її наближеним виразом у формі ряду
| (д) |
то функція (г) уже не буде тотожно дорівнює нулю, а виходить, і не буде ортогональна в зазначеному проміжку до будь-якої функції. Можна, однак, зажадати, щоб вона була ортогональна хоча б до обмеженого класу функцій, наприклад функцій , що становлять ряд (д), тобто щоб
| (е) |
У результаті одержимо n лінійних рівнянь для визначення n постійних коефіцієнтів , що входять у ряд (д).
На використанні системи рівнянь (е) для визначення значень параметрів і заснований метод Бубнова-Гальоркіна. Всі міркування, наведені для функції одного аргументу, можна застосувати й до функцій двох аргументів і більше. Для розв’язання задач про вигин пластинок рівняння Бубнова-Гальоркіна (е) можна представити у вигляді
| (6.7) |
де замість лінійного проміжку розглядається плоска область s, обмежена контуром пластинки, а функція виражається наступним подвійним рядом по області s:
| (ж) |
Таким чином, наближена функція в рівняннях (6.7), що представляє собою ліву частину диференціального рівняння вигнутої серединної поверхні пластинки (5.16), ортогональна в області s до всіх функцій ряду (ж), що входить у цю наближену функцію.
Методу Бубнова-Гальоркіна можна дати й інше, тлумачення. Функція являє собою проекцію на вісь z всіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на нескінченно малий елемент пластинки. Функція прогинів є переміщення в напрямку тої ж осі. Виходить, функції теж є переміщеннями в напрямку осі z і їх можна вважати можливими переміщеннями. Отже, рівняння Бубнова-Гальоркіна (6.7) приблизно виражають рівність нулю роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил у пластинці на можливих переміщеннях .
Таким чином, метод Бубнова-Гальоркіна, як і метод Рітца-Тимошенко, виходить із принципу можливих переміщень, обидва методи рівноправні. В обох випадках апроксимуючу функцію необхідно вибирати так, щоб вона задовольняла геометричним граничним умовам. Виконання статичних умов не обов’язково.
Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
Для ілюстрації методу Бубнова-Гальоркіна розглянемо вигин затисненої по контурі прямокутної пластинки, до якої прикладене рівномірно розподілене навантаження. Напрямок координатних осей показане на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Вигин затисненої по контурі пластинки
З характеру закріплення пластинки випливають наступні граничні умови. На гранях пластинки OB і AC при й
| (а) |
На гранях OA і BC при й
| (б) |
Щоб задовольнити цим умовам, наближений вираз функції прогинів можна прийняти у вигляді ряду
| (в) |
де функція
кожного його члена задовольняє всім граничним умовам.
Так, на грані OB
і, отже, .
На грані AC
і теж . Точно так само виконуються умови (б) для прогинів на гранях OA і BC.
Для перевірки граничних умов відносно кутів повороту на контурі пластинки обчислюємо похідні від функції прогинів (в) по x і y:
На грані OB
і, отже, похідна . Точно так само на грані AC
і похідна . Аналогічно, на гранях OA і BC звертається в нуль похідна . Таким чином, функція прогинів (в) задовольняє всім граничним умовам (а) і (б).
Для відшукання невизначених параметрів потрібно скласти систему рівнянь Бубнова-Гальоркіна (6.7). У першому наближенні обмежимося одним членом ряду (в):
| (г) |
Тоді функція для цього члена ряду буде
| (д) |
Підставляючи співвідношення (г) і (д) у рівняння (6.7), одержуємо
Після перетворення приходимо до суми добутків інтегралів:
Інтегруючи, одержуємо
або після спрощення
Звідси коефіцієнт
Вносячи отримані значення у формулу (г), знаходимо функцію прогинів у першому наближенні:
Максимальний прогин виникає в центрі пластинки (при , і ). Для квадратної пластинки при й коефіцієнті Пуассона одержуємо наступне значення максимального прогину:
Точне значення максимального прогину квадратної пластинки, затисненої по контурі й до якого прикладене рівномірно розподілене навантаження
Таким чином, максимальний прогин, отриманий у першому наближенні, відрізняється від точного значення менш ніж на 1,5%.
При обчисленні згинальних моментів і поперечних сил ряди сходяться значно гірше.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
