Метод зведення задачі Коші до розрахункових співвідношень
Значне число задач механіки пружного стержня зводиться до рішення
лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними
коефіцієнтами
, (1.30)
задовольняючим заданим початковим умовам
. (1.31)
Як відомо, така задача визначення частного рішення рівняння (1.30), що
задовольняє початковим умовам (1.31), називається задачею Коші.
Процес рішення задачі Коші включає дві операції з деякими послідовними
діями.
1) Складання загального рішення рівняння (1.30):
– фундаментальна система рішень однорідного рівняння, що відповідає
(1.30);
– константи інтегрування;
.
для різних додатків вважається вираз:
– довжина стрижня.
, тобто найбільш ефективною системою фундаментальних функцій серед інших
систем.
Алгоритм побудови функції Гріна не залежить від крайових умов стрижня й
включає наступні операції:
.
=
:
… (1.35)
1.2) Формування частного рішення
(1.36)
1.3) Побудова функції Гріна
(1.37)
Відзначимо деякі властивості функції Гріна:
.
, задовольняє однорідному рівнянню, що відповідає (1.30).
похідна має розрив 1-го роду зі стрибком
.
.
Таким чином, загальне рішення неоднорідного диференціального рівняння з
постійними коефіцієнтами (1.30) можна представити у вигляді
.
–
1/4
3/4
потрібно вирішити систему лінійних рівнянь,
(1.38)
яка єдиним образом визначає постійні інтегрування.
При ортонормованій системі фундаментальних функцій будемо мати:
.
Таким чином, для формування рішення задачі Коші потрібно скласти й
аналітично вирішити дві системи лінійних рівнянь (1.34) і (1.38). Для
більшості задач механіки стержнів, пластин і оболонок такі рішення
відомі, окремі задачі вирішені різними авторами, однак багато задач ще
чекають свого рішення.
Далі рішення завдання Коші необхідно доповнити рівняннями, що описують
інші параметри впливу на стрижень, що виконується простим
диференціюванням вираження (1.32). Стосовно до пружного стержня рішення
задачі Коші і додаткові рівняння зручно записати в матричній формі:
(1.39)
або компактно:
– матриця-стовпець параметрів напружено-деформованого стану стержня в
точці х (вектор стану стрижня в точці х);
– квадратна матриця фундаментальних ортонормованих функцій
диференційного рівняння (1.30);
– матриця-стовпець початкових параметрів (вектор початкових параметрів);
– матриця-стовпець елементів від заданого навантаження (вектор
навантаження).
При формуванні вектора навантаження враховані властивість функції Гріна
по пункту IV і правило диференціювання інтеграла.
інтегральні співвідношення (1.39) переходять в алгебраїчні рівняння.
будуть відомі.
Рішення зворотних задач механіки стержнів зводиться до рішення системи
лінійних алгебраїчних рівнянь, матриця коефіцієнтів якої буде погано
обумовленою. Нижче буде показано, що інтегральні співвідношення типу
(1.39) дозволяють досить ефективно вирішувати й прямі завдання. Їхнє
рішення також зводиться до рішення системи лінійних алгебраїчних
рівнянь, але з добре обумовленою матрицею коефіцієнтів.
Наведений алгоритм зведеної завдання Коші до інтегральних співвідношень
далі застосовується для рішення завач статики, динаміки й стійкості
різних пружних систем.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
