Методи рішення задач теорії пружності. Повна система рівнянь теорії
пружності. Рішення задачі теорії пружності в переміщеннях
У попередньому розділі отримані три групи формул, які утворять основні
рівняння теорії пружності.
1. Статичні рівняння. У цю групу входять диференціальні рівняння
рівноваги:
(2.1)
і умови на поверхні:
(2.2)
2. Геометричні рівняння. У цю групу входять геометричні співвідношення
Коші:
(2.3)
і рівняння нерозривності деформацій:
(2.4)
3. Фізичні рівняння. У цю групу входять формули закону Гука або в прямій
формі:
(2.5)
або у зворотній формі:
(2.6)
Маючи ці залежності, можна приступити безпосередньо до розв’язання задач
теорії пружності про напруги й деформації, що виникають у пружному
ізотропному тілі під дією зовнішніх сил.
Рівняння (2.1)-(2.6) містять 15 невідомих функцій:
шість складових напруг
шість складових деформацій
три складові переміщення
Для визначення цих функцій розташовуємо 15 рівняннями: трьома
диференціальними рівняннями рівноваги (2.1), шістьма геометричними
співвідношеннями Коші (2.3) і шістьма формулами закону Гука (2.5) або
(2.6). Таким чином, з математичної точки зору задача може бути вирішена
й зводиться до інтегрування зазначених 15 рівнянь при задоволенні умов
на поверхні (2.2).
Розв’язання рівнянь можна вести різними способами залежно від того, які
величини прийняті за основні невідомі.
3. Розв’язання в змішаній формі, коли за невідомі прийняті деякі
складові переміщень і деякі складові напруг.
Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях
необхідно мати три рівняння, які можна одержати з диференціальних
рівнянь рівноваги (2.1), виразивши в них напруги через переміщення.
Скористаємося першим рівнянням (2.1) і підставимо в нього напруги з
формул закону Гука (2.6):
@
B
D
F
P
R
T
?
?
B
F
F
R
T
?
c
®
#®
°
?
??_??????????????H?H?????Підставивши в це рівняння значення деформацій
(2.3), після групування доданків знаходимо
(2.7)
Вирази в перших дужках можна позначити скорочено:
».
Вираз, що знаходиться в других дужках, можна спростити в такий спосіб:
Після зазначених скорочень і спрощень рівняння (2.7) приймає вигляд
Аналогічно перетворимо й два інших диференціальних рівняння рівноваги
(2.1). Таким чином, одержуємо систему рівнянь для розв’язання задач
теорії пружності в переміщеннях:
.
Так само як і рівняння рівноваги, перетворимо умови на поверхні. Для
цього в перше рівняння (2.2) підставимо вираз напруг через деформації
(2.6):
, одержуємо
:
Таким чином,
і рівняння (2.10) приймає вигляд
(2.11)
Точно так само можна перетворити два інших рівняння (2.2). У результаті
приходимо до наступних трьох умов на поверхні, виражених через
переміщення:
необхідно про інтегрувати три рівняння Ламе (2.9) і задовольнити умовам
на поверхні (2.12). По знайдених переміщеннях з геометричних
співвідношень Коші (2.3) визначають складові деформації, а потім з
формул закону Гука (2.6) – складових напруг.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
