Метод кінцевих різниць (реферат)

Метод кінцевих різниць

При рішенні задаx цим методом область інтегрування розбивають на ряд кінцевих інтервалів, і диференціqне рівняння заміняють рівнянням у кінцевих різницях, тобто рівнянням, у якому похідні виражені через різниці значень функцій у сусідніх вузлових точках.

Застосовуючи рівняння до всіх вузлових точок, одержують систему алгебраїчних рівнянь із невідомими; рішення цієї системи дає значення шуканої функції в цих точках.

Пояснимо метод кінцевих різниць спочатку на прикладі балки  (рис. 12.50). Розіб’ємо довжину балки на кілька однакових ділянок із кроком  і позначимо через  прогин в -й точці на границі ділянок. Значення прогину в сусідніх точках будуть відповідно:  і т.д.

Рис. 12.50. Метод кінцевих різниць на прикладі балки

Складемо вираз перших різниць:

де      — перша різниця по напрямку вперед;

— перша різниця по напрямку назад;

— осереднена перша різниця в розглянутій точці. Розділивши першу різницю на крок, одержимо наближене значення першої похідної. Надалі будемо користуватися тільки осередненими різницями, які більш точно характеризують значення похідних. Для першої похідної одержимо вираз

Визначимо тепер другу різницю, для цього візьмемо різницю значень перших різниць «уперед» і «назад»:

Відношення другої різниці до квадрата кроку дає наближене значення другої похідної

Аналогічно становлять різниці більш високих порядків. З теорії згину бруса відомі наступні диференційні рівняння, що зв’язують між собою прогин, згинальний момент  і інтенсивність розподіленого навантаження:

Замінивши другі похідні, відповідно до рівності (12.226), одержимо рівняння вигину балки в кінцевих різницях:

Приклад 12.17. Обчислити згинальний момент і прогин балки, зображеної на рис. 12.50.

Рішення.

Візьмемо число ділянок, рівне чотирьом, тоді . Застосуємо рівняння (12.229) до точок 1 і 2.

При  й  одержимо

;

.

По цих рівняннях знайдемо

;   .

Отримані значення збігаються з точними значеннями згинального моменту при    й  .

Застосуємо до тих же точкам рівняння (12.228). Взявши до уваги що при ,  , одержимо

;

.

Рішення цієї системи рівнянь дає наступні значення переміщень:

;   .

Отримане значення максимального  прогину відрізняється від точного значення  приблизно на 5%. Більш точний результат можна одержати, розбивши довжину балки на більше число ділянок.

При розрахунку пластин по методу кінцевих різниць площина пластини покривають сіткою пересічних ліній. Для простоти візьмемо ортогональну сітку з однаковим кроком по обох напрямках (рис. 12.51).

Рис. 12.51. Розрахунок пластини методом кінцевих різниць

Розглянемо деяку точку , розташовану на перетинанні ліній, позначених буквами  й .

Значення прогину пластини  в цій точці, а також у сусідніх вузлових точках будемо позначати так, як зазначено на рис. 12.51.

Складемо вираз перших різниць по  й :

Відношення цих різниць до кроку сітки дає наближене значення перших похідних по  й :

Складемо вираз других  різниць. Ці різниці можуть бути трьох видів — по , по  й змішані:

Відношення других різниць до квадрата кроку сітки приблизно виражає другі похідні:

Аналогічно можна скласти треті, четверті різниці й т.д. У загальному випадку рішення диференціального рівняння вигину пластини (12.139) вимагає обчислення четвертих різниць.

Якщо ж краї пластини прямолінійні й закріплені шарнірно, то можна обмежитися другими різницями. У цьому випадку рівняння теорії вигину пластин (12.131), (12.132) і (12.139) перетворять у такий спосіб. Склавши рівняння (12.131) і (12.132) і ввівши позначення

одержують

Диференціальне рівняння (12.139) приймає вид

Система двох рівнянь (12.235) і (12.236) другого порядку еквівалентна одному рівнянню (12.139) четвертого порядку.

Замінивши другі похідні їх наближеними виразами (12.233), прийдемо до наступних рівнянь у кінцевих різницях:

У такому виді рівняння зручні для розрахунку пластин із прямолінійними шарнірно обпертими краями, тому що в цьому випадку на контурі    ;  ;    і, отже, .

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter