Моменти інерції деяких найпростіших перерізів. Поняття про радіус і
еліпс інерції
Моменти інерції деяких найпростіших перетинів
1. Півколо (рис.2.13).
Рис.2.13. Перетин у формі півкола
Головними центральними осями є вісь симетрії у і перпендикулярна їй
центральна вісь х. Зовсім очевидно, що момент інерції півкола вдвічі
менше, ніж момент інерції кола щодо тої ж осі:
:
Скориставшись (2.8) і знайденим у прикладі 6.1 значенням ординати центра
ваги півкола, одержимо
(2.15)
2. Прямокутник (рис. 2.14,а).
а б
Рис.2.14. Прямокутний перетин
Визначимо спочатку момент інерції щодо осі, що збігає з основою.
По визначенню
й інтегруючи, одержуємо
(2.16)
Головний центральний момент інерції знайдемо по формулі (2.8):
звідки
тоді
(2.17)
Аналогічно, момент інерції щодо осі у
на підставі (2.17)
(2.19)
3. Трикутник (рис.2.14,б).
Обчислимо спочатку момент інерції щодо осі, що збігає з основою.
Розбиваючи перетин на елементарні смужки, як показано на рис.2.14,б,
знаходимо
одержимо
тоді
(2.20)
Підставляючи в (2.8) значення
:
(2.21)
l
p
t
?Й??t
v
??E??¦??¬aeej
l
†
?
?
?
?
головною; якщо ж трикутник рівнобедрений, то осі й головні, тому що
вісь є віссю симетрії.
Поняття про радіус і еліпс інерції
Момент інерції фігури щодо якої-небудь осі можна представити у вигляді
добутку площі фігури на квадрат величини, яку називають радіусом інерції
(2.22)
де — радіус інерції щодо осі .
З (2.22) треба, що
(2.23)
Аналогічно радіус інерції площі перетину щодо осі у
(2.24)
Головним центральним осям інерції відповідають головні радіуси
інерції
(2.25)
Побудуємо на головних центральних осях інерції фігури еліпс із
півосями, рівними головним радіусам інерції, причому уздовж осі
відкладаємо відрізки , а уздовж осі — відрізки (рис.2.15).
Рис.2.15. Еліпс інерції
Такий еліпс, що називають еліпсом інерції, має наступну властивість.
Радіус інерції щодо будь-якої центральної осі визначається як
перпендикуляр проведений із центра еліпса на дотичну, паралельну даної
осі. Для одержання ж точки торкання досить провести паралельно даної осі
будь-яку хорду. Крапка перетинання еліпса із прямої, що з’єднує центр О
и середину хорди, і є крапка торкання. Вимірявши потім відрізок ,
знаходимо момент інерції
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter