Несиметрична деформація циліндричних оболонок. Напівбезмоментна теорія
циліндричних оболонок В.З. Власова
На рис. 13.53 зображені тонкостінні циліндри, що опираються на дві опори
і навантажені рівномірно розподіленим навантаженням.
Перший циліндр (рис. 13.53, а) має більшу довжину в порівнянні з
діаметром; другий (рис. 13.53, б), навпаки, малу довжину; третій (рис.
13.53, в) циліндр має довжину, порівнянно з його діаметром (циліндр
середньої довжини). При деформації першого циліндра переважає згинання у
поздовжньому напрямку. Такий циліндр можна розглядати як звичайну балку,
поперечний переріз якої не спотворюється.
Рис. 13.53. Тонкостінні циліндри на двох опорах
Другий циліндр в основному деформується в окружному напрямку і майже не
згинається в поздовжньому напрямку. У цьому випадку згином у
поздовжньому напрямку можна зневажити і розглядати циліндр як плоске
кільце.
У третьому випадку роль згину в поздовжньому і окружному напрямках
приблизно однакова. Цей випадок більш складний.
Найбільш точне рішення задач такого роду може бути отримано на підставі
моментной теорії, у якій враховуються згинальні моменти в стінці
оболонки як у поздовжньому, так і в поперечному напрямку. Однак
практичне рішення задач по моментній теорії пов’язано із складними
обчисленнями. Більш просто задача про несиметричну деформацію
циліндричних оболонок вирішується по полубезмоментній теорії В. 3.
Власова.
У цій теорії, крім загальних гіпотез теорії оболонок Кірхгофа— Лява,
уведені додаткові допущення.
1. Приймається, що нормальні напруження в перетинах, перпендикулярні осі
оболонки, рівномірно розподілені по товщині стінки (але змінні по
окружності). Для пояснення цього допущення на рис. 13.54, а показано
дійсний розподіл напружень, що виникають при згинанні тонкостінного
циліндра, а на рис. 13.54, б – розподіл напружень, прийнято в даній
теорії.
а б
Рис. 13.54. Дійсний і наближений розподіл напружень
, інтенсивність якого змінна по окружності.
приймаються рівними нулю.
, спрямовані по окружності, вважаються рівномірно розподіленими по
товщині стінки. Ці напруження приводяться до сили, що зрушує, S,
інтенсивність якої також змінна по окружності.
3. Оболонка вважається нерозтяжною в окружному напрямку. Відносне
подовження серединної поверхні в окружному напрямку приймається рівним
нулю.
4. Кутова деформація серединної поверхні також приймається рівною
нулю. Це припущення аналогічно припущенню, прийнятому в теорії
стиснутого крутіння тонкостінних стрижнів, відповідно до якого кутова
деформація серединної поверхні вважається рівною нулю, незважаючи на
наявність дотичних напружень стиснутого крутіння.
5. Взаємний вплив поздовжньої і поперечної деформації не
враховується, тобто коефіцієнт Пуассона вважається рівним нулю.
Введення всіх перерахованих гіпотез рівносильно заміні реальної оболонки
розрахунковою схемою (рис. 13.55), у якій оболонка представляється як
сукупність великого числа окремих нерозтяжних кілець, зв’язаних між
собою шарнірними зв’язками, що забороняють відносні переміщення в
осьовому і окружному напрямках, але не передавальними радіально
спрямованих поперечних сил і згинальних моментів.
Рівняння полубезмоментної теорії В. 3. Власова можна також одержати
виходячи з рівнянь загальної теорії несиметричної деформації
циліндричних оболонок, відкинувши в них другорядні доданки. Надалі
будемо ґрунтуватися на сформульовані вище допущеннях.
Рис. 13.55. Заміна реальної оболонки розрахунковою схемою
Приведемо вивід основних залежностей розглянутої теорії.
Виділимо з оболонки нескінченно малий елемент (рис. 13.56) і складемо
рівняння його рівноваги.
Рис. 13.56. Нескінченно малий елемент оболонки
.
”yuss
, одержимо наступну систему рівнянь:
, підставимо її в рівняння (13.182).
, після чого віднімемо одне рівняння з іншого:
(13.185)
Це рівняння, з урахуванням рівності (13.183), можна представити також у
наступному виді:
(13.186)
Введемо позначення диференційного оператора В. 3. Власова:
(13.187)
тоді рівняння рівноваги (13.186) запишеться більш коротко:
, зазначені на тім же малюнку.
через переміщення
(13.191)
Рис. 13.57. Компоненти переміщень елемента серединної поверхні
, то з рівнянь (13.190) і (13.191) виходить
. Отже, повний кут повороту нормалі в окружному напрямку
по довжині дуги
:
= 0)
(13.200)
Для оболонки з постійною товщиною стінки, виготовленою з ізотропного
матеріалу
— жорсткість при згинанні в окружному напрямку, також віднесена до
одиниці довжини.
. З рівнянь (13.197) – (13.200) виходить
, скориставшись рівняннями рівноваги (13.180), (13.181)
повинні бути періодичними.
, одержимо розв’язня рівняння.
— функція поверхневого навантаження;
перебуває також у вигляді ряду. постійні інтегрування, якіо утримуються
в рішенні, визначають по граничних умовах на торцях.
обчислюють на підставі залежностей (13.196) і (13.197).
Напруження знаходять по внутрішніх силових факторах відповідно до формул
(13.208)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
