Несиметричний згин круглих пластин
тому почнемо з того, що перетворимо загальні рівняння теорії згину
пластин з декартової системи координат у полярну. Як відомо, між
декартовими й полярними координатами існують наступні залежності:
:
.
Користуючись залежностями (12.176), виразимо похідні
:
;
. (12.177)
Аналогічно складемо вирази других похідних:
, прийдемо до наступних співвідношень:
,
, відповідно до рівностей (12.179), вирази згинаючих і крутних моментів
(12.131) – (12.133) приймають вид
. (12.182)
Запишемо диференційний оператор (12.138) у полярних координатах:
. (12.183)
Для поперечних сил замість виразів (12.137) одержимо
;
. (12.184)
Основне диференційне рівняння (12.139) після перетворення приймає вид
. (12.185)
прийняті позитивними, якщо вони спрямовані донизу. Позитивні напрямки
силових факторів показані на рис. 12.43.
Рис. 12.43. Позитивні напрямки силових факторів
Помітимо, що залежності (12.180) – (12.185) можуть бути виведені
безпосередньо в полярних координатах.
Напишемо ще вирази граничних умов для круглих пластин при несиметричній
деформації.
При жорсткому затиснені краю пластини замість умов (12.140)
. (12.186)
При шарнірно закріпленому краю замість умов (12.141)
. (12.187)
При вільному краю замість умов (12.142)
(12.188)
Загальне рішення диференційного рівняння (12.185) можна представити у
вигляді суми загального рішення однорідного диференціального рівняння й
частного рішення рівняння із правою частиною:
. (12.189)
Загальне рішення однорідного рівняння отримане Клєбшем:
, (12.190)
де
[див. (12.191)].
. Це доданок повністю відповідає рішенню для круглих осесиметричних
пластин.
, — назад симетричним.
.
Постійні інтегрування знаходять, як правило, із граничних умов на краях
пластини.
(рис. 12.44, а). Подібна схема зустрічається, зокрема, при розрахунку
днищ канатних барабанів, що працюють на вигин.
Характер деформації пластини показаний на рис. 12.44, б.
б
Рис. 12.44. Наприклад 12.12
Рішення.
, повинні бути відсутні.
для даної задачі приймає вид
,
.
прогин у довільній точці на внутрішньому контурі
.
Складова кута повороту нормалі в радіальному напрямку в тій же точці
.
) при жорсткому затиснені мають місце наступні граничні умови:
.
і т.д., не входять, то шукана функція буде містити тільки один перший
член ряду, тобто
,
або з урахуванням виразів (12.191)
.
Постійні інтегрування визначаються із граничних умов. Останні, при
внесенні в них функції, приводяться до системи чотирьох рівнянь:
;
;
;
.
Рішення цієї системи рівнянь дає
;
;
;
.
приймає вид
.
l
|
?
?
”
”
$
z
|
~
?
‚
„
†
?
O
O
??A????????????H?H?????”
$
|
?
„
?
Oe0”y
j.
j|
:
.
, визначимо відповідно до формул (12.59)—(12.63):
Рис. 12.45. Навантаження, прикладені до жорсткого центра
Вносячи ці значення в рівняння рівноваги жорсткого центра й виконавши
інтегрування, одержимо
звідки
Після того, як кут повороту центра знайдений, неважко обчислити
внутрішні силові фактори.
:
.
Відповідне максимальне напруження
.
— зовнішній радіус.
Рішення.
[див. (12.190)] у цьому випадку має вигляд
.
. Це рішення повинно задовольняти рівнянню
.
у вигляді
.
й підставивши в диференційне рівняння (12.85), знайдемо, що рівняння
задовольняється при
.
Отже,
.
Запишемо граничні умови:
;
.
.
Третя й четверта умови приводять до двох рівнянь:
;
з яких знайдемо
Отже,
.
Подальше обчислення внутрішніх моментів по залежностях (12.80) –(12.82)
і напружень по залежностях (12.145) не викликає труднощів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
