Плоска задача теорії пружності. Плоска деформація й плоский напружений
стан
Рішення плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії
пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їх
елементів працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої
деформації, що й розглядається в плоскої задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих
сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно
розподіленими по товщині (рис.3.1).
Рис.3.1. Пластинка в умовах плоского напруженого стану
) не залежать від z і є функціями тільки двох змінних — х и у.
Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки
паралельно площини ХОУ:
(3.1)
Такі переміщення відбуваються в довгому циліндричному або призматичному
тілі при дії навантаження, яке перпендикулярно поздовжньої осі і
постійної уздовж її. Цій розрахунковій схемі відповідають задачі про
циліндричні котки, тунелі, підпірні стінки, греблях і т.п. (рис.3.2).
Рис.3.2. Плоска деформація
Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація
виникає тільки в площині ХОУ:
будуть ненульовими, що треба з формули узагальненого закону Гука
(3.3)
Плоский напружений стан і плоска деформація описуються практично
однаковими рівняннями, відмінність складається тільки в значеннях
пружних постійних. Ця обставина дозволяє об’єднати обидві задачі в одну
– плоска задача теорії пружності.
xz?¬o
o
oe
??)?еорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.
Диференціальні рівняння рівноваги:
(3.4)
де X, Y — постійні по довжині об’ємні сили.
Умови на поверхні:
(3.5)
де l, m — напрямні косинуси.
Геометричні співвідношення Коші:
(3.6)
Рівняння нерозривності деформацій:
(3.7)
Формули закону Гука:
(3.8)
де
, переміщення U, V), що відповідає числу рівнянь (два рівняння
рівноваги, три геометричних співвідношення Коші й три формули закону
Гука).
Залежно від того, які величини відомі, а які підлягають визначенню,
розрізняють пряму задачу, зворотну і змішану. Основне значення для
розрахунку конструкцій має пряме задачі; вона ж є й найбільш складною.
Зворотне завдання вирішується значно простіше й має допоміжне значення.
Розрізняють наступні методи рішення прямої задачі: рішення в
напруженнях, рішення в переміщеннях, змішаний метод.
. У цих випадках виконується рішення плоскої задачі в напруженнях.
співвідношеннями
(3.10)
У результаті виходить рівняння
(3.11)
Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію
напруг Эрі,
, а потім по формулах (3.10) — напруження.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
