Площа перерізу. Статичний момент площі. Центр ваги перерізу
Геометричні характеристики плоских поперечних перерізів
Площа перетину
При рішенні завдань опору матеріалів у розрахункові формули вводяться
величини, що визначають форму й розміри поперечних перерізів і
називаються геометричними характеристиками плоских перетинів.
Першою такою величиною варто вважати площу перетину. Розглянемо
довільний поперечний переріз. Виділимо нескінченно малий елемент d,
положення якого в прямокутній системі координат визначається величинами
x і y (рис.2.1).
Рис.2.1. До визначення геометричних характеристик
У загальному випадку площа поперечного перерізу визначається у вигляді
(2.1)
Ця характеристика має розмірність довжини в другому ступені й
виміряється в м2, см2, мм2.
Площа поперечного перерізу бруса є геометричною характеристикою його
міцності й твердості не завжди, а лише при рівномірному розподілі напруг
по поперечному перерізу. При нерівномірному розподілі напруг, що має
місце при роботі бруса на крутіння, його міцність і твердість залежать
уже від іншої геометричної характеристики.
Це ж ставиться й до вигину бруса. Дійсно, із двох брусів (рис.2.2) з
рівновеликими площами поперечних перерізів перший (при однаковому
навантаженні) деформується значно сильніше другого (наприклад, при h: b
= 2 прогини першого бруса в 4 рази більше, ніж другого).
Рис.2.2. Вигин брусів з рівновеликими площами перетинів
Статичний момент площі. Центр ваги перетину
Розглянемо добуток елемента площі d на його відстань до осі x, а потім
— до осі y. Підсумовуючи такі добутки для всього перетину, одержимо
(2.2)
Величини, обумовлені формулами (2.2), є геометричними характеристиками
поперечного перерізу й називаються статичними моментами площі щодо осей.
Очевидно, статичний момент має розмірність довжини в третьому ступені
(виміряється в м3, см3, мм3).
Розглянемо той же перетин при паралельному переносі осей (рис.2.3):
Рис.2.3. Паралельний перенос осей
По визначенню:
Очевидно, що величини a і b можуть приймати будь-які значення. Виберемо
їх так, щоб виконувалися умови
JJ
®
тоді
називаються центральними осями, а точка їх перетинання — центром ваги
перетину.
Отже, положення центра ваги перетину (точка З) визначається виразом
(2.3)
Залежно від положення осі, щодо якої обчислюється статичний момент, він
може бути додатнім, від’ємним або рівним нулю.
З формул (2.3) випливає досить важливий наслідок: щодо будь-якої
центральної, тобто минаючої через центр ваги, осі перетину його
статичний момент дорівнює нулю.
У тих випадках, коли перетин може бути розбитий на прості складові
частини, площі й координати центрів ваги яких відомі, положення центра
ваги всього перетину визначають по формулах
(2.4)
— координати їх центрів ваги.
Кожне з доданків, що знаходяться у чисельнику виразу (2.4), являє собою
статичний момент даної частини перетину щодо відповідної осі. На рис.
2.4 наведений приклад, розбивки перетину на найпростіші складові
частини.
Рис.2.4. Розбивка перетину на найпростіші фігури
Для перетинів, складених із прокатних профілів (рис. 2.5), величина
площі кожного профілю й інші необхідні для розрахунків розміри беруться
з довідника, що називається «Сортамент прокатної сталі».
У підручниках і збірниках завдань з опору матеріалів, як правило,
приводяться взяті із сортаменту дані для профілів що найбільш часто
зустрічаються – рівнобічних і нерівнобічних кутників, швелерів,
двотаврів.
Рис.2.5. Перетин із прокатних профілів
Слід зазначити, що існують сортаменти не тільки на сталеві профілі, але
й на стандартні види перетинів, виконаних з інших матеріалів.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
