Побудова епюр для плоских рам. Рами, що мають жорстке закріплення
Побудова епюр для плоских рам
Плоскою рамою називається стрижнева система, елементи якої жорстко або
шарнірно з’єднані між собою, навантажена у своїй площині.
Вертикально (або під нахилом) розташовані стрижні рами називаються
стійками, а горизонтальні – ригелями. Жорсткість вузлів усуває
можливість взаємного повороту скріплених стрижнів, тобто у вузловій
крапці кути між їхніми осями залишаються незмінними.
Як і багато інших систем, рами діляться на статично визначені й статично
невизначені (рис.10, б,в,д,е).
Проміжний шарнір знижує ступінь статичної невизначеності рами на
величину m – 1, де m – число стрижнів, що сходяться в шарнірі. Якщо
m >2, то шарнір називається кратним (рис.10,д).
Для визначення ступеня статичної невизначеності плоскої рами можна
скористатися формулою:
n = 3 ДО-Ш,
де n – ступінь статичної невизначеності; ДО – число замкнутих контурів у
припущенні повної відсутності шарнірів; Ш – число шарнірів у
перерахуванні на одиночні.
Підстава (земля) розглядається як стрижень.
Для рами (рис.10,б) маємо:
ДО=1; Ш=0;
n = 3·1 – 0 = 3.
Для рами (рис.10,д):
ДО=3; Ш=3
n = 3·3 – 3 = 6.
У більш простих випадках, коли відсутні замкнуті контури й проміжні
шарніри, тобто коли використовуються комбінації тих же опор, що й у
балках (жорстке закладення, шарнірно-рухлива й шарнірно-нерухлива
опори), для визначення ступеня статичної невизначеності використовується
“балкова” формула:
n = r – s,
де r – число невідомих реакцій; s – число рівнянь статики ( для плоскої
рами s=3).
У даної розділі обмежимося розглядом найпростіших статично визначених
рам трьох видів:
Із жорстким закладенням;
На двох шарнірних опорах (нерухливої й рухливої);
На двох шарнірно нерухливих опорах із простим проміжним шарніром.
Рис. 10
Із шести внутрішніх силових факторів у перерізах плоскої рами в
загальному випадку виникають три: поздовжні сили Nz, поперечна сила Qy,
згинальний момент Mx.
Правила знаків. Для Nz і Qy зберігаються раніше прийняті правила знаків.
Nz > 0, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до розглянутої відсіченої
частини, викликає в даному перерізі розтягання й Nz < 0 – у противному випадку. Qy > 0, якщо зовнішнє навантаження, прикладене до розглянутої відсіченої
частини, прагне повернути даний переріз за годинниковою стрілкою й Qy <
0 – у противному випадку.
Ординати епюр Nz і Qy (як, втім і Mx) відкладають, як і звичайно,
перпендикулярно до осі елементів рами. Іноді позитивні ординати Nz і Qy
відкладають із зовнішньої сторони рами, а негативні – із внутрішньої,
але рама часто має таку конфігурацію, при якій неможливо виділити
внутрішню й зовнішню сторони, тому надалі вмовимося: ординати епюр Nz і
Qy відкладаються в довільну сторону, але обов’язково вказується знак.
Для згинальних моментів спеціального правила знаків ні, а при обчисленні
моменту в будь-якому перерізі знак приймається довільно. Але результат
обчислень завжди відкладається з боку стислого волокна елемента рами.
При цьому знак на епюрі Mx ніколи не вказується. Така умова повністю
відповідає характеру побудови епюр Mx у балках, де відповідно до
прийнятого для згинальних моментів правилом знаків (див. 1.7) ординати
епюр Mx завжди виявлялися розташованими з боку стислих волокон балки.
Рами із жорстким закладенням
Приклад 7.
Розглянемо плоску раму з жорстким защімленням (рис.11,а). У жорсткому
закладенні рами в загальному випадку навантаження виникають три опорні
реакції: дві сили (HA і RA ) і опорний момент (MA). Для побудови епюр
визначення цих реакцій не є безумовною необхідністю: розрахунок, як і у
випадку балки з жорстким защімленням, можна вести від вільного кінця,
тобто щораз так вибирати відсічену частину для розглянутого перерізу,
щоб у неї не попадала опора з невідомими опорними реакціями. Проте,
іноді доцільно обчислити опорні реакції. Це дозволяє перевірити побудову
епюр або полегшити їхню побудову. Для обчислення реакцій у рамі з
жорстким защімленням використовуються три умови рівноваги:
Fxi = 0,
Fyi = 0,
MAi = 0.
Побудуємо епюри Nz, Qy, Mx для розглянутої рами, не обчислюючи опорні
реакції.
?
?
??Oe
ae
ue
th
Ae ?
?th
??????????????????????????$??Ue? розташовані нескінченно близько до
жорсткого вузла на всіх елементах, що сходяться в цьому вузлі.
Побудова епюри Nz. Дотримуючись установлених правил, у розглянутій рамі
можна виділити 8 характерних перерізів. Поздовжня сила в кожному з них
чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх сил, прикладених по
одну сторону від розглянутого перерізу, на поздовжню вісь стрижня. При
цьому варто враховувати, що положення поздовжньої осі буде змінюватися
залежно від того, чому належить розглянутий переріз – стійкам або
ригелю.
Nz,1 = Nz,2 = Nz,3 = Nz,4 = 0,
Nz,5 = Nz,6 = – F = – 20 кН,
Nz,7 = Nz,8 = -q·4 = – 40 кН.
Побудова епюри Qy. Поперечна сила в будь-якому перерізі чисельно
дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх сил, прикладених по одну
сторону від розглянутого перерізу, на поперечну вісь рами. Положення
поперечної осі також буде змінюватися залежно від приналежності даного
перерізу стійкам або ригелю. З обліком правила знаків, рухаючись від
вільного кінця до закладення, одержимо для Qy:
Qy,1 = Qy,2 = 0 (проекція пари М на будь-яку вісь дорівнює нулю);
Qy,3 = Qy,4 = F = 20 кН,
Qy,5 = 0,
Qy,6 = q·4 = 40 кН,
Qy,7 = Qy,8 = – F = – 20 кН.
Необхідно звернути увагу на той факт, що Qy,7 = – Qy,4, тобто що
поперечна сила у верхніх перерізах протилежних стійок від дії сили,
прикладеної до правої стійки (при закладенні, розташованої ліворуч, і
навпаки) має протилежні знаки. Почасти це можна пояснити протилежними
напрямками осі y для перерізів 4 і 7, але більше строге обґрунтування
зазначеної рівності буде дано нижче.
Побудова епюри Mx. Згинальний момент у будь-якому перерізі чисельно
дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх навантажень, прикладених по
одну сторону від розглянутого перерізу, щодо цього перерізу (більш
строго: щодо осі x цього перерізу). Звернемо увагу на два важливих
зауваження:
Складова моменту Mx від дії зосередженого моменту М завжди однакова й
дорівнює М;
Під плечем сили завжди розуміється довжина перпендикуляра, опущеного із
центра ваги даного перерізу на лінію дії сили. Це означає, що,
наприклад, плече сили F для перерізів 4-7 однаково й дорівнює 3 м.
Рис. 11
Таким чином, для перерізів 1-8 одержимо:
Mx,1 = Mx,2 = Mx,3 = M = 40 кН·м (стиснутим є волокно праворуч в
перерізах 1-3, тому ординату выдкладено праворуч від вісі стійки);
Mx,4 = Mx,5 = M – F·3 = – 20 кН·м;
Mx,6 = M – F·3 – q·4·2 = – 100 кН·м;
Mx,7 = Mx,6 = – 100 кН·м;
Mx,8 = M + F·3 – q·4·2 = 20 кН·м.
Між q, Qy, Mx у плоских рамах зберігаються ті ж залежності, що й у
балках, а саме:
Із цього треба, що правила контролю епюр Qy і Mx залишаються тими ж, що
й для балок ( див. 1.11).
Епюри Nz у плоских рамах будуються найбільше просто й при відсутності
навантажень, розподілених уздовж стрижнів, являють собою графічно
відрізки прямих, паралельні осям стрижнів (або збігаються з ними при Nz
= 0).
Якщо проаналізувати процес побудови епюр (рис.11, б-г), то очевидно, що
найбільше складно обчислювати ординати в перерізах стрижня, що примикає
до закладення ( на рис.11, б-г це перерізи 7 і 8). Як ми вже відзначали,
із цією метою іноді обчислюють реакції HA, RA і момент MA.
При прийнятому для всієї рами напрямку осей x, y (рис.11,а) рівняння
рівноваги мають вигляд:
Отриманий для кожної з величин HA, RA, MA знак “+” говорить, що напрямки
їх були обрані правильно.
Після обчислення опорних реакцій значення величин Nz, Qy, Mx у перерізах
7 і 8 (як, втім, і в будь-якому іншому) можна обчислювати, рухаючись від
закладення до вільного кінця.
Наприклад, для перерізів 7 і 8:
Nz,7 = Nz,8 = – RA = – 40 кН (знак “-” указує на стиск у цих перерізах
із силою RA);
Qy,7 = Qy,8 = – HA = – 20 кН. (реакція HA прагне повернути кожне із цих
перерізів проти годинникової стрілки.)
При порівнянні величини Qy,7 з раніше отриманою величиною Qy,4 видно, що
Qy,7 = – Qy,4 , про що вже говорилося вище.
Mx,8 = MA = 20 кН·м;
Mx,7 = Mx,8 – HA·6 = – 100 кН·м.
Зрозуміло, результати одержувані для будь-якого перерізу при русі від
вільного кінця до закладення й при русі у зворотному напрямку однакові.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
