Поздовжні, крутильні й поперечні коливання прямолінійного стержня
Диференціальне рівняння повздовжніх коливань стержня постійної жорсткості має вигляд
| (3.3) |
де – динамічне повздовжнє переміщення перерізу стержня; – погонна маса стержня; – динамічне повздовжнє навантаження; другий доданок – сила інерції матеріальної точки осі стержня.
Рівняння (3.3) не враховує сил інерції, що виникають внаслідок поперечних деформацій. Відповідно до методу Фур’є розв’язок рівняння (3.3) і навантаження представимо у вигляді добутку двох функцій (гармонійні сталі коливання допускають таке подання)
| (3.4) |
де – амплітудні значення переміщення й навантаження, що залежать тільки від ; – невідома функція від часу .
Функція звичайно приводиться до вигляду
| (3.5) |
де – постійна, яка знаходиться з початкових умов і ; – кругова частота; – початкова фаза. Підставляючи (3.4), (3.5) в (3.3) і скорочуючи на , одержимо звичайне диференціальне рівняння повздовжніх коливань в амплітудному стані
| . | (3.6) |
Розв’язок рівняння (3.6) представимо за допомогою функції Гріна. Характеристичне рівняння має 2 мнимих корені
.
Відповідно до цього загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд
.
Далі, застосовуючи алгоритм побудови функції Гріна, одержуємо розв’язок задачі Коші в матричній формі
|
(3.7) |
Елементи вектора навантаження , після підстановки по (1.22) і інтегрування, приймають вигляд
| (3.8) |
Наближене диференціальне рівняння поперечних коливань стержня постійної жорсткості й початкові параметри після поділу змінних мають вигляд
| (3.9) |
Розв’язок даної задачі Коші в матричній формі запишеться так
|
(3.10) |
де фундаментальні ортонормовані функції (функції академіка А.Н. Крилова) і елементи вектора навантаження після інтегрування приймають вигляд
| (3.11) |
Диференціальне рівняння крутильних коливань призматичного стержня (в амплітудному стані) має вигляд
| (3.12) |
Дане рівняння по символьному запису не відрізняється від рівняння повздовжніх коливань (3.6). Тому розв’язок рівняння (3.12) буде збігатися за формою з розв’язком рівняння (3.6), тобто
| = | ||||||||
де – густина матеріалу стержня; .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
