Поняття про крайовий ефект. Крайовий ефект у сферичній і циліндричній
оболонках
Рішення системи рівнянь попереднього параграфа дозволяє визначити
зусилля і напруги в симетрично навантаженій оболонці обертання по
моментній теорії. Порівняння напружень, одержуваних по моментній і
безмоментній теоріях, приводить до виводу, що в тонких оболонках вони
мало відрізняються. Таким чином, можна вважати, що безмоментна теорія
дає задовільні результати, якщо граничні умови є безмоментними, тобто
забезпечують краям оболонки вільні переміщення в напрямку нормалі до
поверхні.
Розглянемо тепер напружений стан оболонки обертання, край якої
закріплений від зсуву в напрямку нормалі до поверхні. У закріпленні
виникають реакції, які викликають напружений стан, пов’язане із
згинанням і швидко загасаюче при видаленні від краю. Такий напружений
стан, як ми вже відзначали, носе назву крайового ефекту.
Область загасання крайових ефектів виявляється дуже вузькою: для досить
тонких оболонок вона обчислюється частками R. Крайовий ефект – зовсім
особливе явище, характерне лише для тонких оболонок. Він не пов’язаний
із принципом Сен-Венана, а обумовлений тільки малою товщиною оболонки і
скривленням її серединної поверхні.
Складемо основні рівняння, що описують розглянутий напружений стан. У
задачі про крайовий ефект поверхневе навантаження відсутнє й рівняння
рівноваги (7.28) є однорідними:
зручно використовувати для спрощення рішення, тому що через нього
можуть бути виражені зміни кривизни:
звернемося до рис. 7.21, де показаний елемент меридіана оболонки до і
після деформування.
Рис. 7.21. Елемент меридіана оболонки до і після деформування
Із креслення виходить, що до деформування
і співвідношення (а) приймає вид
або
одержуємо
звідки
.
Інтегрування цієї системи рівнянь представляє значні труднощі. Точне
рішення задачі показує, що в краю виникає напружений стан, що має форму
швидко загасаючого коливання при видаленні від цього краю. Це дозволяє
побудувати наближену теорію розрахунку крайового ефекту. Аналіз функцій,
що характеризують загасання коливання з більшим коефіцієнтом загасання,
показує, що значення похідної такої функції завжди більше значення самої
функції на величину коефіцієнта загасання. Тому при підсумовуванні
зусиль, деформацій і переміщень в оболонці з їх похідними можна брати до
уваги лише похідні вищого порядку.
; зазначений вираз може бути представлене в спрощеній формі:
, одержимо
або
Після інтегрування знаходимо
????????H?H??????
пропорційна рівнодіючій поверхневих сил. Так як задача про крайовий
ефект є однорідною, то ця рівнодіюча дорівнює нулю, а значить, і
постійна теж дорівнює нулю. Таким чином,
(в)
Підставивши цей вираз в друге рівняння рівноваги, одержуємо
звідки після зазначених спрощень
З перших двох формул (7.31) маємо
Після підстановки зусиль (в) і (г) одержуємо
або після спрощення
(д)
Із третього рівняння рівноваги (7.32) після диференціювання і спрощення
знаходимо
(е)
Третя формула (7.31) після підстановки в неї значень кривизни (7.33)
приймає вид
або після спрощення
(ж)
Підставивши вираз (ж) в (е), після спрощення одержимо
(з)
Підставивши вираз (з) в (д), знайдемо
Вносячи останню рівність у формулу (б), одержимо наближене
диференціальне рівняння крайового ефекту:
(7.35)
де
. Для цього потрібно у вираз (з) підставити послідовно формули (б) і
(д). У результаті після спрощень одержимо
, а рівняння (7.36) приймає вид
Його рішення можна представити в такій формі:
. Тоді рішення (і) буде виглядати так:
Рис. 7.22. Введення нових змінних
:
:
і інші зусилля. Так, для нижнього краю сферичної оболонки
(7.40)
Для верхнього краю
. Загальне рішення задачі виходить підсумовуванням зусиль крайового
ефекту і зусиль, отриманих по безмоментній теорії. Потім із граничних
умов визначаються довільні постійні загального рішення.
Для дослідження крайового ефекту в циліндричній оболонці скористаємося
рівнянням (7.16). Відповідне йому однорідне рівняння
має рішення у вигляді
(к)
Аналогічно поданню функції (7.37) у вигляді двох незалежних рішень
(7.38) і (7.39), рішення (к) також можна розбити на два:
.
Після цього по формулах (7.13) визначаються зусилля крайового ефекту:
для лівого краю
для правого
загасає та частина зусилля, що викликається крайовим ефектом; (на
малюнку їй відповідає епюра, зображена суцільною лінією).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
