Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на
пружній основі. Основні рівняння вигину круглої пластинки
Поняття про розрахунок прямокутної пластинки й нескінченної смуги на
пружній основі
.
Рис. 5.13. Пластинка на пружній основі
Розрахунок базується на гіпотезах Кірхгофа. Крім того, передбачається,
що існує безперервний контакт між пластинкою й підставою, а сили тертя й
зчеплення між пластинкою й поверхнею пружної основи відсутні. При таких
допущеннях рівняння (5.16) приймає наступний вид:
. Найбільш простою є гіпотеза німецького вченого Э. Вінклера про
пропорційність реактивного опору прогинам у відповідних точках:
Вона одержала велике поширення завдяки своїй простоті, але має ряд
серйозних недоліків і не завжди приводить до правильних результатів.
Підходячи до задачі з позицій теорії пружності, підставу можна
розглядати як пружний півпростір, а у випадку плоскої задачі – як пружну
напівплощину.
на поверхню пружного півпростору. У випадку безперервного розподілу
тиску по навантаженій площі F вертикальні переміщення точок поверхні
пружного півпростору визначаються наступною залежністю:
— пружні характеристики підстави.
Рис. 5.14. До визначення вертикального переміщення
зводиться до розв’язання системи двох — інтегрального (а) і
диференціального (б) — рівнянь із задоволенням умов на контурі
пластинки. Подальший хід розрахунку пов’язаний з обчисленням напруг і
деформацій по формулах (5.6) і (5.5).
Прикладом нескінченної смуги на пружній основі може служити стрічковий
фундамент. Якщо навантаження уздовж фундаменту постійне, то він
перебуває в умовах плоскої деформації. Це означає, що досить розглянути
виділену в поперечному напрямку смужку довжиною a і шириною, рівною
одиниці (рис. 5.15).
Рис. 5.15. Нескінченна смуга на пружній основі
a
ae
ae
e
e
i
??????? ?Для такої смужки диференціальне рівняння прогинів (а) приймає
вигляд
(в)
Залежність (б) між прогинами й реактивним тиском перетвориться до
наступної:
, тому що розглядається плоска деформація.
Таким чином, задача про відшукання прогинів нескінченної смуги на
пружній основі зведена до розв’язання системи двох
інтегро-диференціальних рівнянь (в) і (г).
Розв’язки систем рівнянь (а), (б) і (в), (г) отримані головним чином у
працях радянських учених. На підставі цих розв’язків складені докладні
таблиці для розрахунку пластинок на пружній основі.
Основні рівняння вигину круглої пластинки
. Тоді відповідно до залежностей (4.3) основне рівняння вигину пластинки
(5.15) приймає вигляд
— те ж у перетині, що збігається з радіус-вектором (тангенціальний
згинальний момент).
, одержуємо формули згинальних моментів у полярній системі координат:
(5.23)
Аналогічно перетворимо формулу крутного моменту (5.10):
— те ж, на площадці, що збігається з радіус-вектором r (тангенціальна
поперечна сила). Заміняючи у формулах (5.19) похідні одержуємо вирази
поперечних сил у полярній системі координат:
(а)
або
можна одержати вирази наведеної поперечної сили на контурі, що враховує
наявність крутного моменту:
Підставляючи сюди значення поперечних сил (а) і крутного моменту (5.24),
знаходимо
(5.26)
Формули (5.22)-(5.26) являють собою основні рівняння вигину пластинок у
полярній системі координат. Рівняння (5.22) служить для визначення
функції прогинів серединної площини пластинки, а інші – для складання
граничних умов і визначення зусиль.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
