Потенційна енергія при згині пластинки
Виведемо формулу для визначення потенційної енергії, що накопичується при вигині пластинки. Відповідно до прийнятих гіпотез, і , тому формула питомої потенційної енергії (1.18) приймає вигляд
Вносячи сюди вирази напруг (5.6) і деформацій (5.5), одержуємо
Додамо й віднімемо з виразу у квадратних дужках величину
Після групування одержуємо
або
Підставимо отриманий вираз питомої потенційної енергії у формулу (1.20). Тому що прогини пластинки є функціями тільки двох змінних x і y, то в потрійному інтегралі можна відокремити інтегрування по z:
Інтегруючи й уводячи циліндричну жорсткість (5.7), одержуємо
(6.10) |
Тут подвійний інтеграл береться по всій площі серединної поверхні пластинки.
Для деяких випадків закріплення пластинки вираз потенційної енергії (6.10) можна спростити. Візьмемо інтеграл від останнього доданка у квадратних дужках і перетворимо його в такий спосіб:
(а) |
В останньому виразі проведемо інтегрування вроздріб:
(б) |
Перший із вхідних сюди інтегралів — контурний, тому що підінтегральна функція є результат інтегрування по y і, отже, у неї входять значення похідних функції прогинів на контурі, паралельному осі x. Інтегрування в цьому контурному інтегралі ведеться уздовж того ж контуру пластинки. Другий інтеграл у формулі (б) перетворимо ще раз:
і проінтегруємо вроздріб. Тоді інтеграл (а) прийме такий вигляд:
(в) |
У другому з отриманих контурних інтегралів інтегрування ведеться уздовж контуру пластинки, паралельного осі y.
Якщо пластинка довільного обрису затиснена по контурі, то у всіх точках контуру прогин і кути повороту серединної площини дорівнюють нулю, тобто . Отже, обоє контурних інтеграла у виразі (в) звертаються в нуль, тому що в них входить множником похідна .
Якщо прямокутна пластинка шарнірно обперта по всьому контурі (рис. 6.1), то у всіх точках контуру прогин .
Рис. 6.1. Шарнірно обперта по контурі пластинка
На краях OA і BC, паралельні осі x, скривлення уздовж осі x неможливо, якщо пластинка щільно прилягає до опори. Таким чином, на цих краях у всіх точках , а, виходить, перший контурний інтеграл у формулі (в) звертається в нуль. На краях OB і AC неможливе скривлення уздовж осі y, тобто в цьому напрямку кути повороту й кривизна серединної площини дорівнюють нулю , і другий контурний інтеграл у формулі (в) теж звертається в нуль.
Таким чином, у двох розглянутих випадках інтеграл (в) приводиться до вигляду
Після його підстановки у формулу потенційної енергії (6.10) вираз, що стоїть у квадратних дужках, звертається в нуль і формула спрощується:
(6.11) |
Отриманий вираз можна використовувати для визначення потенційної енергії при вигині пластинок будь-якого обрису, затиснених по контурі, а прямокутних пластинок – ще й шарнірно обпертих по контурі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter