Просторова стійкість тонкостінних профілів. Найпростіші задачі
При розгляданні задачі стійкості центрально стиснутих стержнів було встановлено: коли стискаюча сила досягає деякого значення, первоначально прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою. Поряд із прямолінійною формою рівноваги стають можливими і безскінченні згинальні форми рівноваги: згинання відбувається в площині найменшої жорсткості.
Прямий опит вказує, що втрата стійкості форми рівноваги можлива і при інших видах навантаження. Наприклад, при згинанні полоски в площині її найбільшої жорсткості, коли навантаження досягає деякої величини, поряд із плоскою формою згинання стають можливими й інші форми рівноваги: стрижень згинається в поперечній площині й закручується. Це явище називається втратою стійкості плоскої форми згинання, і в ряді випадків це необхідно враховувати.
Для рішення задач просторової стійкості стрижнів необхідно скласти диференціальні рівняння рівноваги в деформованому стані.
Розглядаючи задачі складного згинання стержнів, встановили, що при згинанні стержня з’являється додаткова інтенсивність поперечного навантаження
| , | (8.58) |
де — поздовжня сила, позитивна при розтяганні.
Подібним же чином можна обчислити й додаткові інтенсивності й поверхневого навантаження на одиницю площі поверхні стержня
| ; | (8.59) |
де й — проекції на осі й повного переміщення точки контуру з координатою ; — товщина профілю.
Нормальні напруження визначаються по формулі (8.45), причому в задачах, що представляють найбільший інтерес, можна вважати зовнішнє навантаження прикладене таким чином, що аж до втрати стійкості крутіння відсутнє.
Отже, при визначенні й можна припустити, що
.
Помітимо, що додаткові напруження від бімомента якщо й не дорівнюють нулю, то звичайно носять місцевий характер і не можуть зробити помітного впливу на стійкість.
У рамках лінійної постановки задачі величини і варто вважати заданими й незалежними явно від переміщень і . Ці величини знаходять за допомогою розрахунку для заданих зовнішніх сил і граничних умов звичайно з точністю до співмножника , эйлерово значення якого також визначають шляхом розрахунку.
Таким чином, вважаємо відомим вираз
| . | (8.60) |
Проекції переміщень точки контуру на осі й визначається по формулах (рис. 8.1)
;
,
але так як
,
то
| (8.61) |
де й — координати точки на контурі.
Відповідно до виразів (8.59)
| (8.62) |
Додаткові інтенсивності поперечного навантаження й крутного моменту , що діють на одиницю довжини стержня, визначаться по формулах
Підставляючи в записані формули вираз (8.61), (8.62) і беручи до уваги залежності (8.28), можна одержати наступні вирази:
| (8.63) |
| (8.64) |
Якщо профіль симетричний щодо осі , то
якщо ж є дві осі симетрії, то
Підставляючи в диференціальні рівняння (8.30) замість виразів і відповідно вирази одержимо в загальному вигляді диференціальні рівняння складного просторового згинання й крутіння тонкостінних профілів.
Не будемо виписувати ці рівняння в загальному виді, тому що їхнє рішення у випадку змінних і вимагає використання спеціальних прийомів, розгляд яких виходить за рамки даного курсу.
Розглянемо найпростіший випадок симетричного відносно осі профілю, додатково припустивши, що
.
Іншими словами, припустимо, що на стержень діє стискаюча сила й постійний по довжині згинальний момент у площині . В цьому випадку диференціальні рівняння можна перетворити до вигляду
| (8.65) |
Диференціальне рівняння для збігається з диференціальним рівнянням стійкості центрально стиснутого стержня. Інші два диференціальних рівняння свідчать про те, що при деяких умовах можлива втрата стійкості із площини симетрії з одночасним закручуванням стрижня.
Розглянемо найпростіші задачі.
- Центрально стиснутий стрижень, що має дві осі симетрії. У цьому випадку система диференціальних рівнянь (8.65) розпадається на три окремих диференціальних рівняння
| (8.66) |
Рішення двох перших рівнянь при відповідних граничних умовах дозволяє визначити эйлерови сили й , які відповідають втраті стійкості в площинах і відповідно.
Третє рівняння має ту ж структуру, що й перші два, і для його рішення використовують відомі прийоми.
Эйлерову силу центрально стиснутого стержня можна представити у вигляді
,
де — наведена довжина; коефіцієнт залежить від граничних умов.
У розглянутій задачі при крутильній формі втрати стійкості , так що
.
Якщо в опорних перерізах усунуті кути повороту і поперечний переріз може вільно спотворюватися, то в опорних перерізах і , тобто маємо граничні умови, як у вільно обпертого стержня. У цьому випадку .
Якщо усунуті кут повороту і депланацію перерізу, то в опорних перетинах і , тобто маємо граничні умови, як у жорстко забитого стрижня. У цьому випадку , іншими словами, усунення депланації перетину істотно збільшує эйлерову силу.
Таким чином, розглянутий стержень може втратити стійкість при згинанні у двох площинах і закручуванні. Якій формі втрати стійкості відповідає найменше значення эйлерової сили, можна визначити тільки на підставі розрахунку.
- Чисте згинання. У цьому випадку й система рівнянь (8.65) перетвориться до виду
| (8.67) |
Очевидно, що для рішення задачі стійкості досить спільно розглянути перші й треті рівняння.
Розглянемо найпростіший випадок вільно обпертої балки, у якої в опорних перерізах усунуті кути повороту перерізу навколо поздовжньої осі, а перекручування поперечного переріза нічим не стиснуто. У цьому випадку рішення задач може бути знайдене у вигляді
Підставляючи вираз для й у диференціальні рівняння (8.67) і скорочуючи на нерівний нулю множник , одержимо систему рівнянь
;
Виключая із другого рівняння величину й приравнюючи нулю множник при , знайдемо рівняння стійкості
Отримане рівняння має два різних по величині й за знаком кореня. Це свідчить про те, що втрата стійкості може відбутися при різних напрямках дії згинального моменту. Фізично це зрозуміло, тому що профіль несиметричний щодо осі й при зміні знака моменту міняється співвідношення між стиснутими й розтягнутими частинами поперечного переріза.
Для симетричного щодо осі перерізу , і рівняння стійкості перетвориться до виду
.
Найменше значення виходить при , так що
| . | (8.68) |
Якщо взяти прямокутну смугу висотою й товщиною , то для неї
тоді
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
