Рівняння руху оболонок
Якщо віднести оболонку до системи гаусових координат , що збігаються з лініями кривизни серединної поверхні, то рівняння руху можуть бути записані в такому виді:
(350)
де – компоненти переміщення точки серединної поверхні в напрямках і -ліній і по нормалі; – маса оболонки на одиницю серединної поверхні; – диференціальні оператори, структура яких для оболонок довільної форми дуже складна. Тому рівняння руху у вигляді (350) має сенс записувати для найпростішого випадку циліндричної оболонки постійної товщини, для якої коефіцієнти рівнянь постійні. У цьому випадку
(351)
де ; – безрозмірні координати точки на серединній поверхні; .
Система рівнянь (350) має восьмий порядок по координатах і другий – за часом . Навіть тоді, коли ці рівняння мають постійні коефіцієнти (тобто для циліндричної оболонки) і при розгляді гармонійних коливань із частотою , тобто при
аналітичне рішення цих рівнянь може бути отримано лише при деяких спеціально підібраних граничних умовах. У інших випадках для розрахунку використовують наближені або чисельні методи.
Особливістю рівнянь руху оболонок є те, що, як це видно з формул (351), у ці рівняння входить малий, пропорційний квадрату товщини оболонки, параметр , на який збільшуються старші похідні переміщень по координатах. Тому, якщо розглядаються такі форми коливань, при яких переміщення повільно змінюються по координатах і , моментними членами в рівняннях (350) можна зневажити. На основі безмоментної теорії розглядають нижчі форми коливань оболонок, закріплених так, що забезпечується можливість безмоментного стану.
При вищих формах власних коливань оболонка розбивається вузловими лініями на ряд досить положистих сегментів, на кожному з яких напружений стан швидко змінюється по координатах. У цьому випадку для розрахунку може бути використана так називана теорія положистих оболонок. Стосовно циліндричної оболонки рівняння теорії положистих оболонок утворюється з рівнянь (350), якщо в операторах (351) опустити доданки з множником .
Аналітичне рішення задачі про власні коливання для замкнутої циліндричної оболонки може бути отримане при так званих граничних умовах Нав’є. Відповідно до цих умов на торцях оболонки відсутні нормальні й окружні переміщення, а також подовжня сила в серединній поверхні і згинальний момент . Умовам Нав’є задовольняють наступні вирази компонентів переміщення:
Підставивши ці вирази в рівняння руху (350) і з огляду на (351), прийдемо до системи трьох лінійних алгебраїчних рівнянь щодо .
Рівність нулю визначника цієї системи приводить до кубічного рівняння щодо . Три корені цього рівняння відповідають трьом різним формам коливань з однаковими числами вузлових колів і утворюючих, але з різними співвідношеннями між .
На відміну від пластин, де найменші власні частоти відповідають формам коливань без вузлових ліній, в оболонках, закріплених так, що деформація їх без розтягу серединної поверхні неможлива, найменші частоти мають коливання з вузловими лініями. Це пояснюється тим, що форми коливань без вузлових ліній зв’язані зі значними деформаціями в серединній поверхні оболонки.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
