.

Рішення осесиметричної задачі за допомогою функції напруг. Чистий згин криволінійного бруса. Задача Головіна (реферат)

Язык: украинский
Формат: реферат
Тип документа: Word Doc
172 742
Скачать документ

Рішення осесиметричної задачі за допомогою функції напруг. Чистий згин криволінійного бруса. Задача Головіна

 

Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень

Знайдемо функцію напружень осесимметричної задачі. Бігармонічне рівняння осесимметричної задачі (4.27) являє собою диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами. Щоб одержати рівняння з постійними коефіцієнтами, переходимо до нової змінної  за допомогою підстановки (4.32). Зв’язок між похідними функції  по старій і новій змінним установлюємо аналогічно тому, як це зроблено в 4.8.

Підставляючи вирази похідних у рівняння (4.27), одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами

Його рішення має вигляд

.

Переходячи до старої змінної , одержуємо загальне рішення рівняння (4.27):

. (4.39)

По формулах (4.28) знаходимо напруження:

(4.40)

Отримані рівняння являють собою загальне рішення осесимметричної задачі. Залишається лише визначити із граничних умов значення постійних  і .

 

Чистий вигин криволінійного бруса. Задача Головіна

При чистому згинанні криволінійного бруса, вісь якого обкреслена по дузі окружності (рис. 4.13), розподіл напружень у всіх радіальних перерізах однакове. Отже, напруження в такому брусі можна визначати по формулах (4.40).

Рис. 4.13. Чисте згинання криволінійного бруса

Для визначення вхідних у ці формули постійних маємо наступні умови на криволінійних поверхнях:

при (а)
при (б)

На  торцях   рівнодіюча зусиль повинна бути дорівнює нулю, тобто

, (в)

і тому ці зусилля повинні приводитися до пари з моментом :

. (г)

Умови (а) і (б) для дотичних напружень  виконуються тотожно, а відносно нормальних напружень після підстановки першої формули (4.40) приводяться до наступних рівнянь:

; (д)
. (е)

Умова (в) приймає наступний розгорнутий вид:

,

звідки після інтегрування

. (ж)

Аналогічно з умови (г) у вигляді

після інтегрування одержуємо

.

Неважко бачити, що при виконанні умов (д) і (е) умова задовольняється тотожно. Вирішуючи спільно рівняння (д), (е) і (з), одержуємо:

;

.

Тут введене позначення:

.

Підставляючи отримані постійні у формули (4.40), знаходимо

(4.41)

Епюри напружень  і  побудовані на рис. 4.13.

Точне рішення задачі про чисте згинання, а також задача про поперечне згинання криволінійного бруса вперше отримане в 1881 р. X. С. Головіним.

Порівнюючи формули (4.41) і (3.23), зауважуємо, що на відміну від прямого бруса при чистому згинанні криволінійного існує тиск волокон один на одного. В опорі матеріалів рішення задачі чистого згинання криволінійного бруса засновано на гіпотезі плоских перерезів і допущенні про відсутність тиску поздовжніх волокон один на одного. При цьому виходять наступні результати:

(4.42)

де  — площа поперечного переріза;  — відстань від центра ваги перерізу до нейтральної осі;  — середній радіус кривизни бруса.

У табл. 4.1 наведені результати обчислення напружень по формулах (4.41) і (4.42) для бруса великої кривизни, коли висота перерізу  або радіус . Найбільше значення напруження , отримане методом теорії пружності, прийнято за одиницю.

Таблиця 4.1

Порівняння результатів теорії пружності та опору матеріалів

Формули
при при
Теорії пружності (4.41) –1,000 0,492 –0,192
Опору матеріалів (4.42) –1,005 0,480 0
Розбіжність, % 0,5 2,5

 

Як видно з таблиці, навіть при дуже великій кривизні бруса рішення опору матеріалів відносно нормального напруження  відрізняється всього на 2,5% від точного рішення. Максимальні нормальні напруження  становлять 19,2% від , однак вони виникають у точках, де напруження  близькі до нуля, і, отже, не мають значення при оцінці міцності. Тому при розрахунку криволінійних брусів рішення опору матеріалів цілком прийнятно.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020