Розрахунок оболонки довільної форми за безмоментною теорією
Для оболонки довільної форми застосовують криволінійні ортогональні координати й (рис. 7.4). Нескінченно малі дуги й на криволінійній поверхні можна розглядати як прямі. В теорії поверхонь їх називають лінійними елементами. Довжини лінійних елементів пропорційні диференціалам незалежних змінних:
| (а) |
Коефіцієнти пропорційності A і B представляють коефіцієнти перекручування, що перетворять збільшення криволінійних координат у лінійні відрізки. У загальному випадку ці коефіцієнти є функціями координат і .
Рис. 7.4. Система криволінійних координат
Квадрат лінійного елемента в ортогональних координатах становить
або з урахуванням залежностей (а)
| (б) |
Вираз (б) називається першою квадратичною формою поверхні, а величини A і B — коефіцієнтами першої квадратичної форми.
Для дослідження внутрішніх зусиль виділимо із серединної поверхні оболонки лініями , , і нескінченно малий елемент CDFE (рис. 7.5). В ординатах і він має форму ортогонального криволінійного чотирикутника зі сторонами
| (в) |
Рис. 7.5. До дослідження внутрішніх зусиль
Кути й відповідні криволінійні сторони чотирикутника й , розташовані у двох взаємно перпендикулярних головних нормальних площинах, що проходять через точку C. Відповідно до рисунка, ці кути підкоряються формулам
| (г) |
Кути й лежать у дотичної площини й утворені напрямками суміжних дотичних до ліній кривизн, що проходять через точки C, D і E.
Для цих кутів одержуємо
| (д) |
У випадку безмоментного напруженого стану на гранях розглянутого елемента діють віднесені до одиниці довжини перерізи оболонки нормальні , і зрушуючі , зусилля, що є функціями координат і . Ці зусилля зображені на рис. 7.6.
Рис. 7.6. Нормальні й зрушуючі зусилля
Поверхневе навантаження показане у вигляді складової інтенсивності навантаження , , по осях рухливої ортогональної системи координат xyz з початком у точці С.
Розглянемо умови рівноваги елемента CDFE. Сума проекцій всіх сил на вісь Cx
Приведемо подібні члени й відкинемо величини вищого порядку малості, що стоять у квадратних дужках:
Звідси після підстановки значень кутів (д) і спрощення знаходимо
| (е) |
Аналогічно одержуємо ще два рівняння рівноваги, проектуючи всі сили на осі й :
| (ж) |
З рівняння моментів щодо осі Cz одержуємо співвідношення
яке називають законом парності зрушуючих зусиль. З його врахуванням диференціальні рівняння рівноваги безмоментної теорії оболонок можна представити в такому видгляді:
| (7.1) |
Рівняння (7.1) являють собою повну систему основних рівнянь безмоментної теорії оболонок, виведену в лініях головних кривизн серединної поверхні оболонки. Число невідомих функцій , , і S відповідає числу рівнянь, тобто при розрахунку по безмоментній теорії оболонка в нескінченно малому являє собою статично визначену систему.
Розв’язок системи рівнянь (7.1) відноситься до статичної задачі безмоментної теорії оболонок. Щоб знайти деформації й переміщення в оболонці, до цих рівнянь варто додати геометричні й фізичні рівняння. Тут обмежуємося дослідженням тільки статичної сторони задачі й розглянемо основні рівняння для двох окремих випадків.
Сферична оболонка. У цьому випадку головні радіуси кривизни однакові:
Заміняючи координату на , а на , згідно рис. 7.7 одержуємо наступні значення довжин лінійних елементів:
| (з) |
Рис. 7.7. Перетворення координат у сферичній оболонці
Порівнюючи співвідношення (з) і (а), відмітимо, що коефіцієнти першої квадратичної форми приймають вигляд
і рівняння (7.1) перетворяться в наступні:
| (7.2) |
Осесиметричне навантаження сферичної оболонки. У цьому випадку зусилля не залежать від кута й всі похідні по звертаються в нуль. Крім того, зрушуючі зусилля . Дійсно, у силу симетрії в будь-якому меридіональному перетині ліворуч і праворуч повинні існувати однакові зрушуючі зусилля, спрямовані в одну сторону. Це суперечить умовам рівноваги й можливо лише при . З рівнянь (7.2) залишаються тільки два:
| (7.3) |
У зв’язку з визначеністю напрямку головних кривизн зусилля в сферичній оболонці мають наступні назви: — меридіональне зусилля (напрямок збігається з напрямком меридіанів на сфері), — кільцеве зусилля.
Розглянемо розв’язання системи рівнянь (7.3) на прикладі сферичного купола, до якого прикладене рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю q на одиницю площі горизонтальної проекції оболонки (рис. 7.8). Відповідно до цього рисунка, складові поверхневого навантаження такі:
Рис. 7.8. Сферичний купол
Підставляючи їх значення в рівняння (7.3), одержуємо:
Розв’язок цієї системи рівнянь дає
Епюри меридіональних і кільцевих зусиль по висоті купола зображені на рис. 7.8.
Рис. 7.8. Епюри меридіональних і кільцевих зусиль
Стискаюче кільцеве зусилля має максимальне абсолютне значення у вершині купола при . В міру просування вниз кільцеве зусилля зменшується й при дорівнює нулю. Далі воно стає розтягуючим й зростає. Меридіональне зусилля залишається постійно стискаючим.
Для визначення горизонтальної складової меридіонального зусилля розглянемо рис. 7.7, звідки
На нижньому краї купола при виникає горизонтальна складова реакції
| (и) |
для сприйняття якої купол ставлять на опорне кільце. Реакція створює в кільці розтягуючі зусилля. Значення цих зусиль визначимо з розгляду рівноваги половини опорного кільця (рис. 7.9).
Рис. 7.9. Рівновага половини опорного кільця
Проектуючи всі сили на вертикальну вісь, одержуємо
звідки після інтегрування шукане зусилля
або з урахуванням формул (з) і (і)
Найбільшого значення розтяжне зусилля в опорному кільці досягає при куті . Якщо , то зусилля стає рівним нулю й необхідність в опорному кільці відпадає.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
