Статична визначність геометрично незмінних стрижневих систем. Приклади кінематичного аналізу
Спорудження статично визначене щодо опорних закріплень тільки в тому випадку, коли число параметрів, що визначають реакції цих закріплень, дорівнює трьом. Цій умові задовольняють наступні три системи опорних закріплень:
- Комбінація шарнірно-рухомої й шарнірно-нерухомої опор (рис.1.8,а);
- Комбінація трьох шарнірно-рухомих опор (рис.1.8,б) за умови, що напрямки реакцій цих опор не перетинаються в одній точці й не паралельні один одному;
- Жорстко затиснена система (рис.1.8,в).
Рис.1.8
Наявність у геометрично незмінної системи чотирьох і більше опорних стержнів, серед яких є три стержні з напрямками реакцій, що не перетинаються в одній точці й не паралельними один одному, говорить про те, що спорудження статично невизначене.
Розглянемо умови, яким повинні задовольняти самі статично визначені стержневі системи (ферми), тобто такі системи, зусилля в елементах яких можуть бути знайдені за допомогою одних лише рівнянь статики.
При дії на шарнірну ферму зосереджених сил, прикладених у вузлах, у її прямолінійних стержнях виникають тільки повздовжні (стискаючі або розтягуючі) сили. Якщо ферма має криволінійні стержні, то в поперечних перерізах цих стержнів крім повздовжніх сил виникають і згинальні моменти, що викликають у них додаткові напруги.
Якщо ферма в цілому (рис.1.9,а) перебуває в рівновазі під дією сил, прикладених до її вузлів, то й будь-який її вузол (рис.1.9,б) також перебуває в рівновазі, тобто зовнішнє навантаження, що діє на вузол, і внутрішні зусилля в стержнях, що сходяться в цьому вузлі, взаємно врівноважуються.
Рис.1.9
На кожний вузол ферми діє система сил, що перетинаються в одній точці. Для такої системи сил можна записати два рівняння рівноваги:
Якщо ферма має вузлів, то для них можна записати рівнянь рівноваги, з яких можна визначити зусилля у всіх стержнях ферми й три невідомі опорні реакції. Будь-які інші рівняння рівноваги для окремих частин ферми або для всієї ферми в цілому можуть бути отримані із цих рівнянь, тому вони не є новими незалежними умовами для визначення незалежних зусиль. Таким чином, ферма буде статично визначена, якщо число її стержнів дорівнює подвоєному числу вузлів мінус 3:
| (1.2) |
Залежність (1.2) між числом вузлів і числом стержнів статично визначеної ферми збігається з умовою (1.1) її геометричної незмінюваності.
Отже, усяка найпростіша ферма, тобто ферма, утворена на базі шарнірного трикутника послідовним приєднанням вузлів (кожного за допомогою двох стержнів, що не лежать на одній прямій), є одночасно геометрично незмінною й статично визначеною системою.
Всі стержні статично визначеної системи є безумовно необхідними з погляду геометричної незмінюваності, тобто в такій системі немає ні одного зайвого зв’язку; якщо ж число стержнів геометрично незмінної системи перевищує мінімально необхідне, то вона є статично невизначеною.
Приклади кінематичного аналізу
Приклад 1. Виконати кінематичний аналіз системи (рис.1.10,а).
Визначаємо ступінь свободи системи по формулі П.Л.Чебишева:
| (1.3) |
де Д – число дисків, Ш – число простих шарнірів, С0 – кількість стержнів.
Рис.1.10
Відкидаючи всі шарніри й опорні стержні, знаходимо, що система складається з п’яти дисків ( ). Відкидаючи опорні стержні, визначаємо число шарнірів, приведених до простих ( : по двох у точках і , по одному – у точках і ). Число опорних стержнів – .
тобто система може бути геометрично незмінною й статично невизначеною. Щоб переконатися, що це так, виконаємо аналіз структури системи. Тому що диски , і зв’язані трьома шарнірами , і , що не лежать на одній прямій, то вони утворять диск, до якого жорстко приєднаний диск за допомогою шарніра й стержня , вісь якого не проходить через центр шарніра. Ця незмінна фігура жорстко приєднана до землі за допомогою трьох стержнів, що не перетинаються в одній точці. Таким чином, система (рис.1.10,а) геометрично незмінна й не є миттєво змінюваною.
Приклад 2. Виконати кінематичний аналіз системи (рис.1.10,б).
Тому що система є шарнірно-стержневою, то для визначення її ступеня свободи використовуємо формулу
| (1.4) |
де – число вузлів ферми; – число внутрішніх стержнів; – число опорних стержнів.
Тут , , , отже,
Таким чином, система має один ступінь свободи, є механізмом і не може використовуватися як будівельна конструкція.
Приклад 3. Дослідити систему (рис.1.11,а).
Рис.1.11
Ступінь свободи системи визначимо по формулі (1.3):
Отже, система має два зайві зв’язки. Щоб переконатися в її геометричній незмінюваності, проаналізуємо структуру системи. Тут можна виділити два незмінних трикутники й , які жорстко з’єднані один з одним і з землею (розглянутою як диск) за допомогою трьох шарнірів не лежачих на одній прямій. Стержень прикріплений до цієї незмінної частини системи за допомогою шарніра й стержня , що не проходить через центр шарніра, так само як і стержень за допомогою шарніра й опорного стержня . Стержні й – зайві, тому що й без них система незмінна.
Приклад 4. Виконати кінематичний аналіз системи (рис.1.11,б).
Використовуючи формулу (1.4), визначаємо число ступенів свободи системи:
отже, система має необхідну кількість зв’язків, щоб бути геометрично незмінною й статично визначеною.
Проаналізуємо структуру. Виділимо незмінні трикутники й . Стержень становить єдине ціле із землею (третій диск), тому що прикріплюється трьома опорними стержнями, що не перетинаються в одній точці. Щоб перевірити, чи жорстко з’єднані диски І, ІІ, ІІІ (рис.1.11,б), переконаємося, що три їхніх миттєвих центри обертання не лежать на одній прямій. Шарнір є миттєвим центром обертання дисків І й ІІ, а також дисків ІІ й ІІІ, тому що тут перебуває фіктивний шарнір, що заміняє стержні й , що з’єднують ці два диски. Отже, система миттєво змінювана, тому що де б не перебував миттєвий центр обертання О дисків І й ІІІ, через нього й точку завжди можна провести пряму, на якій будуть лежати всі три миттєвих центри обертання.
Приклад 5. Дослідити ферму (рис.1.12).
Рис.1.12
По формулі (1.4) визначаємо ступінь свободи ферми:
отже, система може бути геометрично змінюваною й статично визначеною.
Проаналізуємо систему. Вона складається із трьох дисків – трикутники , і стержень ,- зв’язаних між собою стержнями , , , , які можна замінити фіктивними шарнірами , і шарніром . Отже, можна зробити висновок: всі стержні з’єднані між собою жорстко й прикріплюються до землі так само жорстко за допомогою трьох стержнів, що не перетинаються в одній точці.
Для перевірки системи на миттєву змінюваність застосуємо спосіб нульового навантаження – визначимо опорні реакції й зусилля у всіх стержнях за умови, що зовнішнього навантаження немає. З умов рівноваги всієї системи ( ; ; ) знаходимо, що опорні реакції дорівнюють нулю. Вирізуючи вузол і проектуючи всі сили на вертикаль, знаходимо, що зусилля у вертикальному стержні . Потім, записуючи рівняння проекцій двох сил, що сходяться у вузлі (третя сила ), на напрямки нормалей до цих стержнів, знаходимо, що зусилля в стержнях і також дорівнюють нулю. Нарешті, розглядаючи рівновагу вузлів , , , , знаходимо, що зусилля у всіх стержнях системи при відсутності навантаження дорівнюють нулю, отже, система незмінна.
Приклад 6. Виконати кінематичний аналіз системи (рис.1.13,а).
Рис.1.13
По формулі (1.4) визначаємо ступінь свободи:
тобто система має необхідний мінімум зв’язків, щоб бути геометрично незмінною. Для перевірки того, чи є система дійсно незмінною, використовуємо метод заміни стержнів. Виберемо замінюючу систему (рис.1.13,б). Тут відкинутий стержень , а його дія замінена силами , і доданий замінюючий стержень . Обрана замінююча система, незмінна: стержні , і земля жорстко з’єднані трьома шарнірами, що не лежать на одній прямій. А нижня частина системи незмінна, оскільки складається із трикутника (наприклад, ), до якого жорстко прикріплені всі інші вузли за допомогою діад, і все це прикріплено до землі трьома опорними стержнями.
Тепер визначимо зусилля в замінюючому стержні від сил . Вирізуючи послідовно вузли , , і розглядаючи їхню рівновагу, одержимо, що зусилля в замінюючому стержні дорівнює нулю, отже, вихідна система – миттєво змінювана.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
