Осн. понятия
Грани числовых мн-в
Числовые последовательности
Непр. ф-ции на пр-ке
Сходящиеся и расходящиеся посл-ти
Св-ва сходящихся посл-тей
Теорема «Об единственности пределов»
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Теорема «О сходимости монотон. посл-ти» Экспонента или число е
Ф-ции одной переменной
Обратные ф-ции Предел ф-ции в точке
Свойства предела ф-ции в точке
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Предел ф-ции в т-ке
Предел и непрерывность функции
Предел. Односторонний предел. Пределы ф-ции на бесконечности
Два замечательных предела
Б/м ф-ции и их сравнения
Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
1. Осн. понятия
Мат.модель – любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений,
которая в совокупности описывает интересующий нас объект.
Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число,
которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. –
всякое вещественное число, которое не явл. рационал.
Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а,
а1,а2…аn… где а –люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.
Некоторые числовые множества.
Мн-ва – первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно
точно определить.
Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят
только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А
описывается А={х( вып-ся усл S(x)}.
Подмн-ва – если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А
наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва
А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. А(В. А=В-
мн-ва совпадают.
Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в
А и В.
А( В={х(х(А и х(В} пересечение мн-в А и В.
А\ В={х(х(А, но х(В}дополн. к м-ву В во мн-ве А
Числовые мн-ва
R,N,Z,Q – стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {х(аА. 4. Сходящиеся
и расходящиеся посл-ти
Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть
сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти
эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или
же этого св-ва нет.
Опр Если для любого ( >0 найдется такой номер N, для любого n >N:(xn-a( (n б/м и из равенства преобразования определяю (n получаем
xn=a+(n.
Свойство б/м
Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с
общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.
Т-ма о св-вах б/м
а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м
1) их сумма, разность и произведение являются б/м
2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м
!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.
Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех
номеров n>N (xn(>c.
!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть
неогранич., но не является б/б.
Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно
большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно
большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по
модулю.
Св-ва сходящихся посл-тей
Теорема «Об единственности пределов»
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.
Док-во (от противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а(b. Тогда согласно определению
пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за
исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая
окрестность в точке b. Возьмем два радиуса (= (b-a)/2, т.к. эти
окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все
эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.
Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
Пусть посл-ть {xn}(а ( >о N:(n>N(xn-a(N
=> что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству(xn(( c = max
{(a-((,(a+((,(xn(,…,(xn-1(}
Теорема «Об арифметических дейсьвиях»
Пусть посл-ть {xn}(a,{yn}(b тогда арифметические операции с этими
посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:
а) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b
б) предел lim(n(()(xn(yn)=a(b
в) предел lim(n(()(xn/yn)=a/b, b(0
Док-во:
а)xn(yn=(а+(n)((b+(n)=(a(b)+((n((n) Правая часть полученная в разности
представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части
xn+yn имеет предел равный a(b. Аналогично др. св-ва.
б) xn(yn=(а+(n)((b+(n)=ab+(nb+a(n+(n(n
(n(b – это произведение const на б/м
а((n(0, (n(n(0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а(b+ б/м посл-ть. По т-ме О
связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn(yn сводится к
a(b
Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных
сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от
составляющих этого выр-ния
Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1x2>…>xn>xn+1>…;
невозр., если x1(x2(…(xn(xn+1(…
Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго
монотонными
Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере.
Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие
ограничены сверху.
Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»
Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.
Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X – все
мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы
это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную
верх. грань supX xn(supX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх.
грань, то xn(x* ( n. ( ( >0 вып-ся нер-во ( xm(пусть m- это n с
крышкой):xm>x*-( при ( n>m => из указанных 2-х неравенств получаем
второе неравенство x*-((xn(x*+( при n>m эквивалентно (xn-x*(m.
Это означает, что x* явл. пределом посл-ти. 6. Экспонента или число е
Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .
Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и
сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и
обозначается символом е(2,7128…
Док-ть сходимость посл-ти (1)
Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач.
x=1,1/2,1/3,…,1/n,… значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми
(1).
Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр.
посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно
возр., но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны
том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые
св-ва, т.е. 0
Огранич. сверху ( M:1/xlg(1+x)(lgM (x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию
вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0.
tg(1=(lg(1+x1))/x1 (1>(2=>tg(1>tg(2
tg(2=(lg(1+x2))/x2
Поскольку (1>(2, то tg(1>tg(2, а это равносильно равенству (3).
Поскольку y>lg(1+x) (x>0 => kx>
>lg(1+x) (x>0
Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению.
Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда
показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы
зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.
Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк
первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r-
годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл.
% при m кратном их начислению.
Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е.
число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что
выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному
нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n(()P(1+r/m)^mn=Pe^rn
Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.
Принцип вложенных отрезков
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков
[a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…
Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]([an,bn],
(n=1,2,…;
2) Длины отрезков (0 с ростом n, т.е. lim(n(()(bn-an)=0. Посл-ть с
указанными св-вами наз-ют вложенными.
Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с
принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех
отрезков к которой они стягиваются.
Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей
и ограниченной сверху числом b1.
{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти
посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n(()an и
с2=lim(n(()bn => c1=c2 => c – их общее значение. Действительно имеет
предел lim(n(()(bn-an)= lim(n(()(bn)- lim(n(()(an) в силу условия 2) o=
lim(n(()(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с
Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку (n an(c(bn. Теперь
докажем что она одна.
Допустим что ( другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять
любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь «хвост»
посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn
сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.
Принцип вложенных отрезков
Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку с(всем
отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.
Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху
числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена
снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. ( числа c1=lim(n(()an и
c2=lim(n(()bn.
Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с.
Действ. имеется предел lim(n(()(bn-an)= lim(n(()bn( lim(n(()an=c2-c1=c
ясно что с общая для всех отрезков поскольку для ( n an(c(bn. Осталось
доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘(c к
которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и
с‘, то с одной стороны весь «хвост» {an}, {bn}, должен нах-ся в
окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn( c и c‘ одновр. Противореч.
док-ет т-му.
7.Ф-ции одной переменной
Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из
мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае
говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.
Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер.
X=Df=D(f) y={y;y=f(x),x(X} x1(X1, y1=f(x1)
1) аналит. способ; 2)Табличный способ;
3) Графический способ;
4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У,
т.е. ( m,M: m(f(x)(M (x(X
m(f(x) (x(X => огр. сн.; f(x)(M, (x(X=> огр. св.
Обратные ф-ции
Если задано правило по которому каждому значению y(Y ставится в
соответствие ( ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что
на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию
x=f^-1(y). Предел ф-ции в точке
y=f(x) X
опр. ( {xn} (X, xn(x0
f(xn)(A,=> f(x) в т. x0 (при , xn(x0) предел = А
А=lim(x(x0)f(x) или f(x)(A при x(x0
Т-ка x0 может ( и ( мн-ву Х.
Свойства предела ф-ции в точке
1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный
2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x(x0)f(x)=A
lim(x(x0)g(x)(B=> то тогда в этой т-ке ( предел суммы, разности,
произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.
а) lim(x(x0)(f(x)(g(x))=A(B
б) lim(x(x0)(f(x)(g(x))=A(B
в) lim(x(x0)(f(x):g(x))=A/B
г) lim(x(x0)C=C
д) lim(x(x0)C(f(x)=C(A
Док-во xn(x0, ( lim(x(x0)f(x)=A по опр. f(xn)(A {f(xn)}
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Опр. А – предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)(A при х(х0, и
x>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}(x0, вып-ся условие
xn>x0, f(x)(A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(x(x0+0)f(x)(
И также с минусами.
Признак ( предела
Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой
т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел
(f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции.
Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)(A независимо от того
приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает
равенство (1)
Предел ф-ции в т-ке
Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если ((>0 найдется такое число
В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)0 из (х-х0( (f(x)-x0(0 (
(>0 такое, что для всех х(Х, х(х0, удовлетвор. неравенству (х-х0(0. Тогда для любого числа (>0 выполняется треюуемое
неравенство (f(x)-C(=(C-C(=0 lim(x(x0)C=C
Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.
Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда
ф-ции f(x)(g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С(0) имеют в т-ке х0 пределы,
равные соответственно В(С, В(С, В/С, т.е. lim[f(x)(g(x)]= B(C,
lim[f(x)(g(x)]= B(C, lim[f(x)/g(x)]= B/C
Теорема также верна если х0 явл. ((, ((, (
Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее
значение в этой точке равны, т.е. lim(x(x0)f(x)=f(x0)
Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции
f(x)(g(x), f(x)(g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.
10. Предел. Односторонний предел.
Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А(
окрестность (х0):(x(окрестности (x0) выполняется условие
f(x)(окрестности.
Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.
Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым
предело f(x0)) если f(x)(A при х(х0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0
выполняется условие f(xn)(A
Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x(x0+o)f(x) где запись x(x0+o как раз
означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.
Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)
Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и
достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой
одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу
ф-ции, т.е. f(x0+)=
f(x0-)=lim(x(x0)f(x)=A
Док-во
а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)( А
независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или при х(0 t(( из предела (2) => lim(x(() (1+1/x)^x=e (3)
Док-во
1)x(+( n x:n=[x] => n(x
lim(x(-()(1+1/x)^x=lim(y(+()(1-1/y)^-y=
lim(y(+()((y-1)/y)^y=lim(y(+()(1+1/(y-1))^y=e
3) Пусть x(( произвольным образом это означает при любом любом выборе
посл-ти xn сходящихся к (( мы должны иметь в силу (3) соотношение
lim(x(()(1+1/xn)^xn=e (5)
Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2
подпосл-ти: {x‘n}(+(,
{x‘‘n}(-(. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо
предельное соотношение 5 если заменить xn(x‘nx‘‘n. По т-ме о связи
13. Б/м ф-ции и их сравнения
Опр. Ф-ция ((х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого
определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е.
если ((х)(0 при х(х0, а f(x) определена и ограничена (( С:(((х)((С)=>
((х)((х)(0 при х(х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл.
понятие:
1) Если отношение 2-х б/м ((х)/((х)(0 при х(х0 то говорят что б/м (
имеет более высокий порядок малости чем (.
2) Если ((х)/((х)(A(0 при х(х0 (A-число), то ((х) и ((х) наз-ся б/м
одного порядка.
3) если ((х)/((х)(1 , то ((х) и ((х) наз-ся эквивалентными б/м
(((х)~((х)), при х(х0.
4) Если ((х)/(^n(х)(А(0, то ((х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно
((х).
Аналогичные определения для случаев: х(х0-, х(х0+, х(-(, х(+( и х((.
14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен
знач. ф-ции в этой т-ке, т.е. lim(x(x0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в
т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной
т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке.
Равенство lim(x(x0)x=x0 (1‘). Т.е знак предела у непрерывной ф-ции можно
вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0
означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить
через (у приращение ф-ции, т.е. (у=f(x0+(x)-f(x0) (приращение ф-ции в т.
х0). «(» – символ приращения.
Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х,
то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом
lim((x(0)(y=0~ (у(0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то
приращение ф-ции (0 приращение аргумента.
f(x) непрерывна в т-ке х0 (y(0 при (х(0.
Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие
одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.
Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел
равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т.е.
f(x0+)=lim(x(x0,x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в
т-ке х0.
Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x(x0, x
на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например
непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет
меняться и выпуск пр-ции ((Q(0 при (k(0). Ф-ции которые не явл. непр.
наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой
разрыва
Классификация т-ки разрыва
Непр. ф-ции на пр-ке
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА
Дифференцирование ф-ций
Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.
Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило
Лопиталя Выпуклые и вогнутые ф-ции
Т-ки перегиба
Выпуклость и вогнутость.
Б/б пол-ти
Гладкая ф-ция
Эластичность ф-ций Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций
Т-ма Ферма Т-ма Коши
Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя.
Производная обратной ф-ции Теорема Больцано-Вейерштрасса
Теорема Больцано-Коши
Теорема Вейерштрасса
15. Классификация т-ки разрыва
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва
1-го , и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 ( оба односторонних предела, которые совпадают между
собой f(x0+)= f(x0-), но ( f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой
устранимого р-рыва.
Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так
чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию
положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др.
т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 ( оба 1-стороних предела f(x0(), которые не равны
между собой f(x0+)(f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не ( или
бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно
применять во внимание сл. замечания:
1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей
определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на
гранич. т-ки обл-ти опр-ния.
2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях
своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей
обл-ти опр.
3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на
их геометр. св-ва:
график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую
на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги.
I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой
т-ки.(св-во локал. огранич-ти)
Док-во использует опр-ние на языке ( и (. Если f непр. в т-ке х0 то взяв
любое (>0 можно найти (>0 (f(x)-f(x0)( C((A,B) ( c((a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘).
IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке
(a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a)
f(b), то ( т-ка с((a,b).
Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом
деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)(0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков.
Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот
отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или
найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая
этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна
которых (a-b)/2^n(0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются
к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить,
что f(c)(0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой ( окрестности, т-ке с f
имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с
достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный
знак на концах этих отрезков.
Непр. ф-ции на пр-ке
f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)(0 => f непр. на [a,b] и
f(x)(f(b)=0 (f(x)(f(b)>0 в окр-ти х0) => ( с((a,b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва
непр. ф-ции на отрезке обоснованны.
Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда
f(x) огран. на этом отрезке, т.е. ( с>0:(f(x)((c (x((a,b).
Т-ма 2( о ( экстр. непр. ф-ции на отр.). Если f(x) непр. на [a,b], тогда
она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. ( т-ка max
X*:f(x*)(f(x) (x([a,b], т-ка min X_:f(x_)(f(x) (x([a,b].
Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить
на др. пр-ки
Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0;1] ( f – неогр. на (0;1] хотя и
непрерывны.
Контрпример 2. f(x)=x; на (0;1) f(x) – непр. inf(x((0;1))x=0, но т-ки
x_((0;1):f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(x((0;1))x=1
Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от
противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки
[a;c][c;b] f(x) неогр.
Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая
процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор.
оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех
отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка
[an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она
непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против.
Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно
большим 0.
Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр.
[a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные
грани supE(f)=supf(x)=(при х([a,b])=M(-(). Для
опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. ( х*:f(x)=M.
Допустим противное, такой т-ки не ( и сл-но f(x)
!0
(x([a,b]
Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в
правой части стоит “C”
Следствие: если f(x) непр. [a,b]тогда она принимает все знач. заключ.
Между ее max и min, т.е. E(f)=[m;M], где m и M –max и min f на отрезке.
16. Дифференцирование ф-ций
Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без
изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью
линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0
то у возр. при всех х, k в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть
рав-во (3). Если пр-ная ( то из определения (2) и связи предела с б/м
=>, что ( б/м ф-ция (((х) такая что (f(x0)/(x=f‘(x0)+(((x) отсюда рав-во
(3) пол-ся умножением на (x.
Примеры.
1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е. y=c=const (x, тогда y‘=0 для
(х. В этом случае (y/(x числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это
отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.
2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) ( k(N. Док-м для к=0 исходя
из опр-ния пр-ной. Возьмем ( т-ку х и дадим приращение (х составим
разностное отношение (у/(х=(х+(х)^2-x^2/(x=2х+ (х =>
lim((x(0)(y/(x=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к.
3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае
(y/(x=(e^x+(x-e^x)/(x=e^x(e^(x-1)/ (x. Одеако предел дробного
сомножителя = 1.
4)y=f(x)=(x(=(x, x>0;-x,x0 y‘=-1 при x0
(y/(x=(x/(x=1=>lim((x(0,(x>0)(y/(x=1 А левый предел разн-го отн-ния
будет –1. Т.к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не (. В данном случае
( одностор. пр-ная.
Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при
усл. что (х(0+((х(0-).
Из связи вытекает утвержд., если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее
одностор. пр-ная также ( и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для (
пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой.
В этом случае они не совпад.
17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.
Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего;
fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс.
порядка.
Дифференциал выс. порядков
dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е.
d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного
порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a,b) и в
некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач.
Тогда если в т-ке х0 ( пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0.
2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем:
f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда ( т-ка
с((a,b), в которой f‘(c)=0.
3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем:
f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда ( т-ка c((a,b) такая, что
справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c).
4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на (a,b).
Пусть кроме того, g`(x)(0. Тогда ( т-ка с((a,b) такая, что справедл.
ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).
Правило Лопиталя.
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x), то
lim(x(a)f(x)/g(x)= lim(x(a)f‘(x)/g‘(x), когда предел ( конечный или
бесконечный.
Раскрытие (/(. Второе правило.
Если lim(x(a)f(x)= lim(x(a)g(x)=(, то lim(x(a)f(x)/g(x)=
lim(x(a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x((,x(-(,x(+(,x(a-,x(a+.
Неопред-ти вида 0(, (-(, 0^0, 1^(, (^0.
Неопр. 0(, (-( сводятся к 0/0 и (/( путем алгебраических преобразований.
А неопр. 0^0, 1^(, (^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x)
сводятся к неопр вида 0 Выпуклые и вогнутые ф-ции
Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции
на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на
интервале, частности на всей числ. приямой.
Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем
вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции
имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0,a) ф-ция возр. все
быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого
выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период
адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится
все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На ((,a) ф-ция возр. все
медл. и гр. становится все более пологой. а – это пороговое знач. числ.
раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого
привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр.
f‘(x)>0 (x(0, но на интервале от 0 до а (0;а) f‘(x) возр. в то время как
(0;() f‘ убыв., а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на
(0;а) f‘‘(x)(0 (f-выпукла), а на (a;() f‘‘(x)(0 (f-вогнута).
Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a,b), тогда:
1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a,b), если 2-я пр-ная
не отриц, т.е. f‘‘(x)(0 (f‘‘(x)(0) на (a,b)
2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся
строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a,b)
Т-ки перегиба
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся
т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная
меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет
локальный экстремум.
Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке
имеет т-ки графика по разные стороны.
Выпуклость и вогнутость.
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку
ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не
превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства
хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)(f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) (
x,x0((a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып.
ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и
вогнутой.
Б/б пол-ти
Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для ( пол-ного числа А ( номер N такой,
что при n>N вып-ся нер-во (xn(>A
Возьмем любое число А>0. Из неравенства (xn(=(n(>A получаем n>A. Если
взять N(А, то ( n>N вып-ся (xn(>A, т.е. посл-ть {xn} б/б.
Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич.
Посл-ть может и не быть б/б. Например 1,2,1,3,1,…,1,n… не явл. б/б
поскольку при А>0 нер-во (xn(>A не имеет места ( xn с нечет. номерами.
Гладкая ф-ция
Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т.е. f‘ ( и непрерывна причем имеет
место сл. ф-ла F‘(x)=f‘(((x))((‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем
y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это
скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения
этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя
y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором
интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста
этой ф-ции, при t=R. Темп роста(приросту.
Пр-р y=e^(x. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=(e^(x/e^(x=(.
Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста.
Эластичность ф-ций
Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической
переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысл лог. пр-ная.
Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог.
пр-ной.
Ef(x)=x(f‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘ (6). Выясним эк. смысл этого показателя
для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношением (f(x0)/(x и
будем иметь Ef(x)(x((f(x)/(x)/f(x)=((f(x)/f(x))/((x/x). В числителе
стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир.
аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль
y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность – пок-ль реакции 1-й
переменной на изменение другой.
Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция
спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене.
Ed(P)=P(D‘/D=P((-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не
постоянна Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций
Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного
отношения, а также на сл-щей т-ме.
Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a,b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный
экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т.е. f‘(x0)=0 (8). Это
необходимое усл. локал. экстр., но недостаточное.
Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит.
т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит.
т-ки.
Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] и диф. на (a,b).
Пусть кроме того, g‘(x)(0, тогда ( т-ка c((a,b) такая, что справедлива
ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c)
Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a,b), тогда справедливы сл.
утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a,b) тогда,
когда f‘(x)(0 на интервале (a,b) и f‘(x)>0 (f‘(x) при
сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной
ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С
«алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не
запрещены.
Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+(x=b+> тогда ф-ла
(7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа.
(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)
Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию
g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) ( (x-a)
Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому ( т-ка С на (a,b) g‘(c)=0
g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных
приращений.
Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.
А)Непрерывна на [a,b]
Б) Дифференц. на (a,b)
В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b)
( т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.
Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b]
(f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 ( x ( (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве
с. Пусть f( const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме
Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min.
Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр.
– max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с((a,b) (в
противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и
требовалось д-ть.
Т-ма Тейлора. «О приближении гладкой ф-ци к полиномам»
Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные
порядка n+1. Пусть х – любое значение аргумента из указанной
окрестности, х(а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка ( такая, что
справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1!(x+a)+
f‘‘(a)/2!(x+a)^2+f^(n)(а)/n!+f^(n+1)(()/(n+1)!(x-a)^(n+1).
Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x).
g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n!(f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)!(x-a)^n+1((. По
т-ме Роляя ( т-ка с из (a,b), такая что g(c)=0 (=f^(n+1)(c)
Правило Лопиталя.
Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая
возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(х((х )=lim(x((x)g(x)=0 так что
f(x)/g(x) при x(x0 дает 0/0. lim(x(x0)f‘(x)/g‘(x) ( (4), когда он
совпадает с пределом отношения ф-ции lim(x(x0)f(x)/g(x)=
lim(x(x0)f‘(x)/g‘(x) (5)
Док-во.
Возьмем ( т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0;x] вспом ф-цию арг. t
h(t)=f(t)-Ag(t), если t([x0;x], т.к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки
х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на
[x0;x], поскольку lim(t(x0)h(t)=lim(t(x0)[f(t)-Ag(t)]=lim(t(x0)-A
lim(t(x0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0,x)( c:h‘‘(c)=0
Производная обратной ф-ции
Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции
равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.
Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)(0.
Пусть (у(0 – приращение независимой переменной у и (х – соответствующее
приращение обратной ф-ции x=((y). Напишем тождество: (x/(y=1:(y/(x (2)
Переходя к пределу в рав-ве (2) при (у(0 и учитывая, что при этом также
(х(0, получим: lim((y(0)(x/(y=1:lim((x(0)(y/(x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у –
пр-ная обратной ф-ции.
Производная обратной ф-ции
Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции
равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции.
Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)(0.
Пусть (у(0 – приращение независимой переменной у и (х – соответствующее
приращение обратной ф-ции x=((y). Напишем тождество: (x/(y=1:(y/(x (2)
Переходя к пределу в рав-ве (2) при (у(0 и учитывая, что при этом также
(х(0, получим: lim((y(0)(x/(y=1:lim((x(0)(y/(x => x‘y=1/y‘x. Где х‘у –
пр-ная обратной ф-ции. Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран.
посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть.
Док-во
1. Поскольку посл-ть ограничена, то ( m и M, такое что ( m(xn(M, ( n.
(1=[m,M] – отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его
пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное
число т-к посл-ти.
(2 – та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его
пополам. По краней мере в одной из половинок отр. (2 нах-ся бесконечное
число т-к посл-ти. Эта половина – (3. Делим отрезок (3 … и т.д. получаем
посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о
т-ме о вложенных отрезках, ( единств. т-ка С, кот. принадл. всем
отрезкам (1, какую-либо т-ку (n1. В отрезке (2 выбираю т-ку xn2, так
чтобы n2>n1. В отрезке (3 … и т.д. В итоге пол-ем посл-ть xnk((k.
Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a,b] и на концах
отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда ( т-ка с ( (a,b) в которой
ф-ция обращается в 0.
Док-во
Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a,b], где f(x)n.
Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать
сходящиюся подпосл-ть xnk((x0. По т-ме о предельном переходе к
неравенству.
a(xnk(b a(x0(b x0([a,b]
Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0)
(f(xnk)(>nk, a nk((((f(xnk)(((, т.е. f(xnk) б/б посл-ть.
С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится
к (, пришли к противоречию, т.к. мы предположим, что ф-ция не
ограничена. Значит наше предположение не верно.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
