Київський університет імені Тараса Шевченка
Левицька Вікторія Соловіївна
УДК 512.58+515.12
АЛГЕБРО-ТОПОЛОГІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ФУНКТОРІВ, ПОРОДЖЕНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНИМИ ПРОСТОРАМИ
01.01.06 * алгебра і теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ * 1999
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
Зарічний Михайло Михайлович,
завідувач кафедри алгебри і топології
Львівського національного університету імені Івана Франка
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
Протасов Ігор Володимирович,
професор кафедри дослідження операцій
Київського університету імені Тараса Шевченка
кандидат фізико-математичних наук
Телейко Андрій Богданович,
викладач кафедри автоматизованих систем і програмування
Тернопільської академії народного господарства
Провідна установа
Інститут математики НАН України, відділ алгебри, м.Київ
Захист відбудеться “20” грудня 1999 року о 15.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Київ – 127, проспект академіка Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).
Автореферат розісланий “_15__” _____11_________ 1999 р.
Вчений секретар
cпеціалізованої вченої ради ____________ А.П.Петравчук
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Простори неперервних відображень, зокрема, простори неперервних функцій є об’єктами дослідження в різних розділах математики. В алгебраїчній топології простори неперервних відображень виступають важливим засобом для побудови нових топологічних об’єктів (прикладами можуть служити простори петель); при цьому широко використовується властивість їх функторіальності.
Як алгебро-топологічний об’єкт простори неперервних відображень можуть наділятися різними топологіями. Деякі з цих топологій тісно пов’язані з категорними властивостями функціональних просторів. Однією з найважливіших таких топологій є так звана коваріантна топологія, яка під різними назвами і в різному контексті почала розглядатися з 50-х років, а також топологія поточкової збіжності (цій топології присвячено монографію ).
Значну роль функціональні простори відіграють в нескінченновимірній топології. У відомому списку проблем функціональним просторам відведено цілий розділ. Згадаємо тут лише ті проблеми, які безпосередньо пов’язані з функторіальністю функціональних просторів.
Якщо х* недискретний компактний метричний простір, а у* недискретний локально-компактний простір, що є абсолютним околовим ретрактом (ANR) для метричних просторів, то простір неперервних функцій в топології рівномірної збіжності гомеоморфний області в гільбертовому просторі, а отже, має структуру гладкого -многовиду. В згаданій статті Веста сформульовано питання про існування природної (тобто такої, що функторіально залежить від х) гладкої структури на у випадку, коли у не є гладким многовидом.
Нехай * сепарабельний гільбертовий простір і * куля радіуса п в. За теоремою Банаха-Алаоглу, куля компактна в слабкій топології (позначаємо її). Позначимо через пряму границю послідовності компактів, N (від bounded weak). Відомо, що для досить широкого класу просторів х і у множина неперервних відображень в компактно-відкритій топології гомеоморфна -многовидові, зокрема, просторові . Проблема полягає в тому, чи існує природна (функторіальна) топологізація множини, яка перетворює цю множину в – многовид.
Інша проблема стосується просторів кусково-лінійних відображень Категорія поліедрів і кусково-лінійних відображень позначається PL. Якщо х і у * поліедри, то простір PL у компактно-відкритій топології гомеоморфний многовидові, модельованому на просторі ( див. ).
Простір допускає природне посилення топології. Розглянемо простір .
У цитованому вище списку проблем сформульовано питання: чи існує природна (функторіальна) топологізація простору PL.
В дисертації поряд з дослідженнями функторіальних топологізацій функціональних просторів з заданими топологічними властивостями розглядаються також функторіальні диференціальні структури на функціональних просторах. Зазначимо, що задача про існування такої функторіальної диференціальної структури на просторах неперервних відображень зі значеннями в просторі, що не має структури диференційовного многовида також сформульована в .
Однією з найважливіших властивостей функціональних просторів, яка широко використовується в математиці, є експоненціальний закон:
що виконуються при певних топологічних обмеженнях на простори X, Y і Z. Цей експоненціальний закон породжує ситуацію спряження функторів множення на простір і функтора простору неперервних відображень в заданий простір.
В теорії категорій для опису спряження використовується поняття монади (трійки, в іншій термінології; означення див. нижче). З іншого боку, поняття монади може також розглядатися як результат абстрагування поняття моноїда.
Кожна монада Т на категорії C породжує дві канонічні ситуації спряження
(UT, FT): CT C (UT, FT): CTC,
де CT * так звана категорія Клейслі монади Т (категорія T-значних відображень або категорія вільних Т-алгебр), а CT * категорія Т-алгебр монади Т (категорія Ейленберга-Мура). Багато авторів розглядали загальну проблему внутрішньої характеризації Т-алгебр. Ці проблеми розв’язано в ряді публікацій для широкого класу монад в категоріях компактів і тихоновських просторів. Наприклад, категорія алгебр для монади гіперпростору ізоморфна категорії напівграток Лоусона , а категорія алгебр монади ймовірносних мір ізоморфна категорії опуклих компактів і афінних відображень , категорія алгебр монади суперрозширення ізоморфна категорії компактних просторів з замкненими передбазами спеціального вигляду, що визначають структуру опуклості, і неперервних відображень, що зберігають опуклість ; категорія Т-алгебр для монади гіперпросторів включення ізоморфна категорії граток Лоусона .
Для монад в категорії ТОР та різних її підкатегоріях категорії Клейслі часто допускають природний опис. Зокрема, категорія Клейслі монади гіперпростору є категорією топологічних просторів і багатозначних (компактнозначних, скінченнозначних і т. п.) відображень. У зв’язку з проблемами, що виникають в теорії автоматів, М. Арбіб і Е. Мейнс розглядали задачу продовження коваріантних функторів на категорію Клейслі монади. Критерій існування такого продовження дав Ї. Вінарек і на основі цього критерію М. Зарічний розв’язав цю задачу для ряду функторів скінченного степеня в категоріях компактів і тихоновських просторів .
Задачі про продовження функторів на категорії Клейслі монад в категорії компактних гаусдорфових просторів (компактів) і неперервних відображень COMP тісно пов’язані з результатами Є.В.Щепіна та інших авторів, що стосуються неметризовних компактів. Зокрема, ряд класів неметризовних компактів характеризується як ін’єктивні об’єкти в категорії компактів, де морфізмами виступають Т-значні відображення, тобто морфізми категорії Клейслі.
Дуальною задачею до задачі продовження коваріантних функторів на категорію Клейслі є задача підняття коваріантних функторів на категорії алгебр. Ряд результатів про підняття функторів скінченного степеня на категорії Т-алгебр можна знайти в .
Оскільки при фіксованій області значень конструкція функціонального простору є контраваріантним функтором у деякій підкатегорії категорії топологічних просторів і неперервних відображень, природно розглядати сформульовані вище задачі продовження на категорії Клейслі та підняття на категорії алгебр для контраваріантних функторів. Це є однією з цілей дисертації.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з дослідженнями кафедри алгебри і топології Львівського державного університету імені Івана Франка, її результати частково використані при виконанні завдань держбюджетної теми “Алгебро-топологічні структури” за реєстраційним номером 01.93V041397.
Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є:
встановити існування функторіальних топологізацій множин неперервних та кусково-лінійних відображень з заданими топологічними властивостями, а також існування функторіальних диференційовних структур на просторах неперервних відображень;
розв’язати задачу продовження контраваріантного функтора Ср просторів неперервних функцій в топології поточкової збіжності на категорії Клейслі (= категорії вільних алгебр) монад в категоріях тихоновських просторів;
встановити критерій існування підняття контраваріантних функторів на категорії Т-алгебр монад і застосувати його до задачі підняття контраваріантного функтора Ср на категорії Т-алгебр.
Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації отримано такі нові результати:
* введено поняття функторіальної топологізації множин неперервних відображень і доведено, що не існує регулярної функторіальної топологізації, яка має своїми значеннями гільбертів простір з обмежено-слабкою топологією;
* побудовано функторіальну топологізацію для множин кусково-лінійних відображень, яка перетворює компактні нескінченні поліедри в нескінченновимірні многовиди, модельовані на прямих границях евклідових просторів;
* введено поняття функторіальної диференційовної структури на нескінченновимірних многовидах, модельованих на топологічних лінійних просторах, і показано, що у випадку, коли простір значень не має структури (скінченновимірного) гладкого многовида, на просторі відображень в цей простір з компактно-відкритою топологією не існує функторіальної диференційовної структури;
* встановлено загальний критерій продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі монади і на основі цього критерію доведено, що контраваріантний функтор простору неперервних функцій в топології поточкової збіжності а також його трансфінітні ітерації допускають продовження на категорії Клейслі монади гіперпростору скінченних підмножин;
* показано, що існують продовження Hom-функтора на категорії Клейслі деякого широкого класу монад в категорії компактів;
* встановлено загальний критерій існування підняття контраваріантних функторів на категорії T-алгебр, що базується на існуванні природних перетворень деякого спеціального вигляду. Цей критерій застосовано до контраваріантного функтора просторів неперервних функцій в топології поточкової збіжності і монади, породженої функтором.
Всі результати отримано вперше.
Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичне значення. Її результати, можуть бути використані в теорії категорій, топологічній алгебрі, категорній топології, топології нескінченновимірних (диференційовних) многовидів.
Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно. Зі спільних з М.М. Зарічним праць в дисертацію включено лише ті, що належать авторові.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на:
* Міжнародній конференції “Кільця і модулі” (ЛьвівЛюбінь Великий, 1996 р.);
* Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті проф. Л.М. Глускіна у Слов’янську (1997);
* міжнародній конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998 р.);
* Другій міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті проф. Л. А. Калужніна (КиївВінниця, 1999 р.);
* Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю Ю.-П. Шаудера (Львів, 1999 р.);
* семінарах кафедри алгебри і топології у Львівському державному університеті імені Івана Франка.
Публікації. Результати дисертації опубліковано у працях [1*8], список яких наведено в кінці автореферату. З них 4 статті надруковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.
Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі 7 розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації складає 106 сторінок. Список використаних джерел обсягом 4 сторінки включає 43 найменування.
Автор висловлює подяку науковому керівникові проф. М.М. Зарічному за постійну увагу до роботи.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
Вступні розділи містять огляд літератури, а також необхідну термінологію і позначення.
В розділі 5 розглядаються поняття функторіальної топологізації множин неперервних відображень, а також поняття функторіальної структури диференційовного многовида на просторах неперервних відображень, що є топологічними многовидами, модельованими на нескінченновимірних топологічних лінійних просторах.
Для топологічних просторів х і у через позначаємо множину всіх неперервних відображень з простору х в простір у. При фіксованому х одержуємо коваріантний функтор
а при фіксованому у * контраваріантний функтор
(тут через TOP позначено категорію топологічних просторів і неперервних відображень, а через SET категорію множин).
Нехай TOP SET * забуваючий функтор.
Означення. Топологізацією функтора TOP SET називається функтор TOP TOP такий, що
Однією з функторіальних топологізацій функтора TYCHSET є топологія поточкової збіжності Ср. При цьому базою топології простору СрХ є множини вигляду
Означення. Топологізація TOP TOP функтора TOP SET називається регулярною, якщо звуження відображення обчислення на підпростір сталих відображень є гомеоморфізмом цього підпростору на.
Твердження 5.0.5. і Теорема 5.2.1. стосуються сформульованих вище проблем Дж.Веста.
5.0.5. Твердження. Не існує регулярної функторіальної топологізації функтора такої, що простір гомеоморфний.
Наступний результат стосується категорії PL поліедрів і кусково-лінійних відображень. Нагадаємо, що через позначається пряма границя послідовності евклідових просторі.
5.2.1. Теорема. Нехай у нескінченний поліедр. Існує функторіальна топологізація функтора PL така, що для кожного нескінченного поліедра простір PL є -многовидом.
Якщо Y має структуру (нескінченновимірного) Сr – многовиду, то на множині Сs(X,Y) можна природно ввести структуру диференційовного многовида. Для повного Y відомо, що (в компактно-відкритій топології) є контраваріантним функтором з категорії нескінченних метричних сепарабельних просторів в категорію нескінченновимірних Сr – многовидів, модельованих на сепарабельному гільбертовому просторі.
Доводиться, що не існує функторіальної диференційовної структури на функторі для метричного компактного, якщо не наділений структурою диференційовного многовида.
В розділі 6 розглядається загальна задача продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі монади. Нагадаємо спочатку, що монадою на категорії C називається трійка
Категорією Клейслі монади Т називається категорія CT, означена умовами:
|CT |=|C|, CT = C, і композиція морфізмів задається формулою:.
Означимо коваріантний функтор C CT умовою:
Контраваріантний функтор CT CT називається продовженням функтора на категорію Клейслі CT, якщо виконується наступна умова:
Теорема 6.2.1. дає критерій для існування продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі монади.
6.2.1. Теорема. Існує бієктивна відповідність між продовженнями контраваріантного функтора на категорію CT і природними перетвореннями, що задовольняють умови:
Доведення теореми 6.2.1. показує, що бієктивна відповідність, про яку йдеться в цій теоремі, задається такими конструкціями:
– природному перетворенню , що задовольняє умови 1) і 2), відповідає продовження, що визначається умовами:
– продовженню функтора на CT відповідає перетворення
Монаду Т називають проективною (J. Vinarek), якщо існує морфізм монад 1=(1,1,1) T. Показано (Твердження 6.2.3.), що кожен контраваріантний ендофунктор в С має продовження на категорію Клейслі проективної монади. Як наслідок одержуємо, що контраваріантний функтор в категорії TYCH має продовження на категорію Клейслі степеневої монади.
Відомо, що коваріантний функтор Ср2=СрСр породжує монаду на категорії тихоновських просторів TYCH. Для цієї монади природне перетворення задається умовою:
Природне перетворення задається формулою.
6.2.6. Теорема. Контраваріантний функтор має продовження на категорію, де T монада, породжена функтором.
Нехай монада гіперпростору на категорії тихоновських просторів та неперервних відображень TYCH.
топологія В’єторіса в задається базою
відображення синглетону, Через позначимо її підмонаду гіперпростору скінченних підмножин.
Категорією Клейслі монади Н (відповідно) є категорія тихоновських просторів і компактнозначних (скінченнозначних) неперервних відображень.
6.3.1. Теорема. Існує продовження контраваріантного функтора на категорію Клейслі монади.
Для монади гіперпростору компактних підмножин на категорії тихоновських просторів та неперервних відображень одержуємо негативний результат.
6.3.4. Теорема. Не існує продовження контраваріантного функтора на категорію Клейслі монади.
Розглядаються також продовження топологізацій -функтора на категорії Клейслі. Кожен об’єкт а категорії визначає контраваріантний функтор. Якщо підкатегорія категорії тор, то функтор допускає природну топологізацію, яку ми позначатимемо (добуток розглядається в тихоновській топології). Будемо також розглядати підфунктор функтора : (через позначено операцію замикання в).
Нагадаємо, що нормальним функтором в категорії COMP називають топологічно неперервний коваріантний ендофунктор, що зберігає вагу, моно- і епіморфізми, перетини, прообрази, а також ініціальний і фінальний об’єкти категорії COMP. Відомо , що кожен нормальний функтор F на категорії COMP має продовження на категорію TYCH:
де через позначається компактифікація Стоуна-Чеха тихоновського простору X , а означає носій елемента,
6.4.1. Теорема. Нехай Т монада на категорії, породжена нормальним функтором зі скінченними носіями, і Т-алгебра. Тоді функтори допускають продовження на категорію.
Прикладом такої монади на категорії TYCH є згадана вище категорія, її скінченні степені, а також нормальні підмонади останніх.
Нехай два функтори (не обов’язково контраваріантні) мають продовження на категорію Клейслі деякої монади T. Виникає природна задача: коли композиція цих функторів має продовження на категорі.
6.5.1. Твердження. Припустимо, що коваріантний функтор і контраваріантний функтор мають продовження на категорію Клейслі CT монади T= в категорії. Тоді композиція має продовження на категорію CT.
Цей результат застосовано до задачі продовження на категорію Клейслі (трансфінітних) ітерацій функтора. При цьому кожна парна ітерація визначається за допомогою структури монади на категорії TYCH (тут використовується повнота категорії TYCH), а непарна ітерація задається як композиція.
У розділі 7 розглядається задача підняття контраваріантних функторів на категорії Т-алгебр, що є в деякому розумінні дуальною до задачі продовження функторів на категорії Клейслі.
Нагадаємо означення категорії Т-алгебр. Для монади Т=(Т, , ) на категорії С пара, де морфізм в С, називається Т-алгеброю, якщо
Морфізм в С називають морфізмом Т-алгебри в Т-алгебру,.
Позначимо через СТ категорію Т-алгебр і їх морфізмів, а через забуваючий функтор:
Підняттям функтора на категорію Т-алгебр називається функтор
7.1.1. Теорема. Існує бієктивна відповідність між підняттями контраваріантного функтора на категорію і природними перетвореннями, що задовольняють умов;.
Трансфінітною індукцією для кожного зліченного ординала визначаються контраваріантні функтори просторів функцій берівського класу в топології поточкової збіжності.
Основним результатом цього розділу є
7.2.5. Теорема. Для кожного зліченного ординала контраваріантний функтор допускає підняття на категорію – алгебр.
ВИСНОВКИ
Введено поняття функторіальної топологізації множин неперервних відображень. Доведено, що не існує регулярної функторіальної топологізації, яка має своїми значеннями гільбертів простір з обмежено-слабкою топологією. Побудовано функторіальну топологізацію для множин кусково-лінійних відображень, яка перетворює компактні нескінченні поліедри в нескінченновимірні многовиди, модельовані на прямих границях евклідових просторів. Введено поняття функторіальної диференційовної структури на нескінченновимірних многовидах, модельованих на топологічних лінійних просторах, і показано, що у випадку, коли простір значень не має структури (скінченновимірного) гладкого многовида, на просторі відображень в цей простір з компактно-відкритою топологією не існує функторіальної диференційовної структури.
Встановлено загальний критерій існування продовжень контраваріантних функторів на категорії Клейслі монад. Цей критерій застосовано до задачі існування продовження контраваріантного функтора на категорію Клейслі монади в категорії тихоновських просторів, породженої функтором, а також монади гіперпростору та її підмонади гіперпростору скінченних підмножин. Встановлено достатні умови для існування продовжень композицій контраваріантних функторів, зокрема ітерацій функторів, на категорії Клейслі. Встановлено загальний критерій існування підняття контраваріантних функторів на категорії Т-алгебр, що базується на існуванні природних перетворень деякого спеціального вигляду. Цей критерій застосовано до контраваріантного функтора і монади, породженої функтором. Показано, що функтор, а також контраваріантні функтори функцій берівського класу продовжуються на категорію Клейслі монади, породженої функтором.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ
РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
Левицька В.С., Про функторіальні топологізації і функторіальні диференційовні структури на функціональних просторах // Вісник Львів. ун-ту. Сер. матем.-мех. 1999, вип. 53. С. 98101.
Levyts’ka V., On extension of contravariant functors onto the Kleisli category // Matem. studii. 1998, V. 9. P. 319327.
Levyts’ka V., On lifting of the contravariant functors onto the Eilenberg-Moore category // Вісник Львів. ун-ту. Сер. матем.-мех. 1998, вип. 49. С. 5153.
Levyts’ka V., On extension of the contravariant functor onto the categories of multivalued maps // Вісник Львів. ун-ту. Сер. матем.-мех. 1998, вип. 51. С. 2226.
Levyts’ka V., Functorial topologies and differentiable structures on function spaces. In: Proc. Intern/ Algebr. Conf., Vinnytsia, 1999.
Levyts’ka V., Functorial topologization of spaces of piecewise-linear maps.In: Intern. Algebr. Conf. dedicated to J.-P. Schauder, Lviv, 1999.
Levyts’ka V., Zarichnyi M. Extensions of functors onto the Kleisli categories: contravariant case, In: Intern. algebr. conf. dedicated to the memory of prof. L.M.Gluskin. Slovyans’k, 1997. P. 105106.
Levyts’ka V., Zarichnyi M. Some problems on extensions of contravariant functors , В кн.: Тези міжнар. конф., Чернівці , 1998. С. 5455.
Левицька В.С. Алгебро-топологічні властивості функторів, породжених функціональними просторами. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 алгебра і теорія чисел. Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.
Дисертацію присвячено дослідженню категорних властивостей функціональних просторів. Розв’язано задачі існування функторіальних топологій і функторіальних диференційованих структур з заданими властивостями на функціональних просторах. Встановлено загальні критерії існування продовження контраваріантних функторів на категорії Клейслі і підняття контраваріантних функторів на категорії Ейленберга-Мура монад в термінах існування природних перетворень спеціального вигляду. Ці критерії застосовано до контраваріантного функтора просторів неперервних функцій в топології поточкової збіжності та його трансфінітних ітерацій для різних монад в категоріях тихоновських просторів.
Ключові слова: контраваріантний функтор, простір неперервних відображень, категорія тихоновських просторів, категорія Клейслі, категорія алгебр.
Левицкая В.С. Алгебро-топологические свойства функторов, порожденных функциональными пространствами. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.
Диссертация посвящена исследованию категорных свойств функциональных пространств. Решена задача существования функториальных топологий и функториальных дифференцированых структур с задаными свойствами на функциональных пространствах. Определены общие критерии существования продолжения контравариантных функторов на категории Клейсли и поднятия контравариантных функторов на категории Эйленберга-Мура монад в терминах существования естественных преобразований специального вида. Эти критерии применены к контравариантному функтору пространств непрерывных функций в топологии поточечной сходимости и его трансфинитных итераций для разных монад в категориях тихоновских пространств.
Ключевые слова: контравариантный функтор, пространство непрерывных отображений, категория тихоновских пространств, категория Клейсли, категория алгебр.
Levyts’ka V.S. Algebraic-topological properties of functors generated by functional spaces. Manuscript.
Thesis for a doctor’s degree by speciality 01.01.06 algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 1999.
A notion of functorial topologization of the sets of continuous maps is introduced and it is proved that there is no regular functorial topologization with the Hilbert space in bounded-weak topology as one of its values. A functorial topologization for the set of piecewise-linear maps which transforms compact infinite polihedra to infinite dimensional manifolds is constructed. A notion of functorial differentiable structure on infinite dimensional manifolds modeled on topological linear spaces is introduced and it is shown that there is no such a structure on the space of continuous maps into a space that doesn’t have a structure of differentiable (finite-dimensional) manifold.
The rest of results concerns properties of the contravariant functor Cp of continuous functions in the topology of pointwise convergence acting in the category TYCH of Tychonov spaces and continuous maps. Recall that monad T=(T,,) on a category C consist of an endofunctor T:CC and natural transformations :1cT (unity) and : T2T (multiplication) that satisfy the conditions of associativity and two-side unity. The Kleisli category CT of the monad T is the category whose class of objects coinsides with that of C and whose morphisms are T-valued morphisms of C with naturally defined operation. A criterion is established for existence of extensions of contravariant functors onto the Kleisli categories of monads. Namely, it is proved that there exists a bijective equivalence between extensions of contravariant functor S onto the category CT and natural transformations : FTFT satisfying the conditions TF=F and TF=FT2TT. This criterion is applied to the problem of extension of the contravariant functor Cp onto the Kleisli category of monad in the category of Tychonov spaces generated by the functor Cp2 and also the hyperspace monad and its submonad of the hyperspace of finite sets. In particular, it is proved that the contravariant functor Cp of spaces of functions in the pointwise-convergence topology, as well as all its (transfinite) iterations, has an extension onto the Kleisli category of the monad (Cp2 , , ). Sufficient conditios are given for existence of extensions of compositions of contravariant functors onto the Kleisli categories.
A general criterion for existence of lifting of contravariant functors onto the categories of T-algebras, which is based on existence of natural transformations of special form, is established. This criterion is applied to the contravariant functor Cp and the monad generated by the functor Cp2 and it is proved that there exists a lifting of the functor Cp on the category of T-algebras for the monad T= (Cp2 , , ).
An analogous result is also proved for the contravariant functor Bp() of real-valued functions of Baire class in the topology of pointwise convergence.
Key words: contravariant functor, space of continuous maps, category of Tychonov spaces, Kleisli category, category of algebras.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
