МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ
МАЛКІНА ВІРА МИХАЙЛІВНА
УДК 514.18
Геометричне моделювання поверхонь
на основі спеціальних систем ортонормованих поліномів
Спеціальність 05.01.01. –
Прикладна геометрія, інженерна графіка
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Київ – 1999
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії
Міністерства агропромислового комплексу України.
Науковий керівник: – доктор технічних наук, доцент Найдиш Андрій
Володимирович, ТДАТА, зав. каф. прикладної
математики та обчислювальної техніки.
Офіційні опоненти: – доктор технічних наук, професор
Куценко Леонід Миколайович,
ХІПБ, заступник начальника кафедри
пожежної техніки;
– кандидат технічних наук, доцент
Гриценко Іван Анатолійович,
головний конструктор САПР
Київського державного авіаційного заводу.
Провідна організація: Київський національної технічний університет
“КПІ”.
Захист відбудеться “20” жовтня 1999 р. у 13.00 часів на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26. 056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:
252037 Київ-37, Воздухофлотський просп., 31.
З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету будівництва й архітектури за адресою:
252037 Київ-37, Воздухофлотський просп. , 31.
Автореферат розісланий _13 вересня 1999 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради ___________________ В.О. Плоский
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Перед геометричним моделюванням актуальними стають задачі побудови нових більш досконалих моделей, які описують реальні процеси. Тому необхідно розвивати теорію конструювання самого моделюючого апарату, який повинен забезпечувати відповідність побудованої моделі заданим задачею вимогам та необхідну точність моделювання і відповідати цільовим критеріям.
Актуальність теми. Одними з основних задач геометричного моделювання є:
– наближення кривих і поверхонь у просторах функцій, що визначають ці криві і поверхні;
– наближення кривих і поверхонь, що задовольняють заданим вимогам;
– розробка ефективних алгоритмів і методів розв’язання задач в умовах застосування можливостей сучасних обчислювальних машин.
При розв’язанні практичних задач, коли емпіричні дані обтяжені похибками експерименту, найчастіше немає необхідності будувати апроксимуючу поверхню так, щоб вона точно збігалася з поверхнею, що наближається, в заданих точках (будувати інтерполяційний поліном). Не обов’язкова також і близькість вихідної кривої (поверхні) і апроксиманта в кожній точці області їхнього визначення (визначати поліном найкращого рівномірного наближення). Найчастіше достатньо лише середньоквадратичної близькості.
У зв’язку з цим велику роль у теорії геометричного моделювання набувають методи середньоквадратичного наближення.
З математичної точки зору проблема побудови функцій, що близькі до первинної у “інтегральному” змісті, в значній мірі розв’язана, розроблена струнка теорія і численні обчислювальні алгоритми для апроксимації різноманітних видів функцій.
Серед різноманітних способів апроксимації, що розвиваються вченими і фахівцями прикладної геометрії, відзначимо такі:
– метод найменших квадратів (МНК);
– кусково-лінійна апроксимація з заданим допуском;
– метод кривих другого порядку;
– поліноміальна апроксимація;
– сплайн-апроксимація;
– метод групового урахування аргументів академіка Івахненка А.Г.;
– спеціальні методи (методи Осипова В.А.; використання алгебраїчних кривих у суднобудуванні, будівництві і архітектурі; метод Лаймінга та інші).
Особливе місце займає апроксимація функції поліномами у вигляді лінійних комбінацій функцій (які будемо називати базисними), що мають особливі властивості – є ортонормованими. Це дозволяє при пошуці коефіцієнтів апроксимуючої функції запобігти розв’язання системи рівнянь і таким чином збільшити точність та будувати апроксимуючі поліноми досить високих ступенів.
Зараз особливе значення для рішення багатьох прикладних проблем набувають задачі побудови апроксимуючих поверхонь (кривих), що володіють певною специфікою, а саме:
1. Особливі, спеціальні критерії наближення. Наприклад, “інтегральна близькість” апроксиманта до кривої або поверхні, що наближається, лише в точках межі області наближення, на відміну від традиційної міри “близькості” – у кожній точці області наближення.
2. Нетрадиційні види апроксиманта. Наприклад, застосування експоненційної, або змішаної – алгебраїчно-тригонометричної, експоненційно-тригонометричної і інших видів апроксимуючих функцій, оскільки загальні алгоритми побудови алгебраїчної або тригонометричної апроксимуючої кривої можуть давати велику обчислювальну похибку складної природи.
3. Наближення кривих і поверхонь з особливостями (наприклад таких, що не є гладкими).
4. Побудова поверхні за певними умовами, (відповідність визначеному диференціальному рівнянню, інцидентність заданій просторовій кривій і т. ін.)
5. Апроксимація поверхні, заданої на області складної конфігурації.
Ці питання розглядаються у вищезгаданих способах рідко, і немає чіткого загального алгоритму, що дозволяє їх вирішити.
Таким чином, виникає необхідність розвитку теорії побудови апроксимуючих поверхонь і кривих у вигляді ряду за спеціальними ортонормованими поліномами, що дозволяє вирішити перераховані вище проблеми.
Актуальність розв’язання проблеми визначається її винятковою важливістю з огляду на практику, тому що воно відкриває нові можливості для вирішення ряду задач математичної фізики апаратом геометричного моделювання (приміром, дво- і тривимірна стаціонарна задача теплопровідності) і побудови геометричної моделі заданого виду, що адекватно описує реальні процеси.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні дослідження виконані в рамках комплексної науково-дослідної програми Таврійської державної агротехнічної академії по геометричному моделюванню явищ і процесів у сільськогосподарському виробництві. У процесі впровадження результатів дослідження вирішувалися задачі в рамках Урядової програми координації і прогнозування розвитку галузі автомобілебудування в ЗАТ СП “АвтоЗАЗ-ДЕУ”, науково-виробничої програми створення автомобільних двигунів; у роботі КЕО МеМЗ (м. Мелітополь) при розробці перспективної модифікації автомобільних двигунів МеМЗ; у навчальному процесі ТДАТА (м. Мелітополь).
Мета і задачі дослідження. Мета роботи – створити теоретичні основи і розробити способи й алгоритми побудови геометричних моделей, що задовольняють особливим умовам, на основі ортонормованих поліномів спеціального виду.
Слід зазначити, що відомі і розглянуті вище методи і спроби вчених не дають конструктивних можливостей розв’язання проблеми, особливо з урахуванням згаданої раніше специфіки вимог. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:
виконати аналіз існуючих методів моделювання на основі систем ортонормованих поліномів;
розробити теоретичний спосіб побудови апроксимуючих поверхонь і кривих ліній за допомогою ортонормованих поліномів спеціального виду;
розробити обчислювальний алгоритм побудови спеціального ортонормованого базису на основі повного лінійно незалежного набору, що задовольняє заданим властивостям;
розробити спосіб розв’язяння задач моделювання процесів на основі їхніх диференціальних характеристик;
виконати програмну реалізацію запропонованого способу;
здійснити впровадження в практику.
Методика досліджень. У процесі досліджень поставлених у роботі задач використовувались методи нарисної й аналітичної геометрії, теорії рядів Фур’є, функціонального аналізу, рівнянь математичної фізики, теорії апроксимації і наближення функцій, обчислювальні методи.
Теоретичною базою для даних досліджень послужили роботи провідних вчених:
розробка параметричного методу в працях М.Ф. Четверухіна, розвиток цього методу стосовно до поверхонь у працях М.М. Рижова і стосовно до обводів у працях І.І. Котова і В.А. Осипова;
визначення основних понять і напрямків розвитку прикладної геометрії поверхонь у працях І.І. Котова, М.М. Рижова;
розробка питань моделювання і різноманітних способів перетворення прос-тору в працях І.С. Джапарідзе, Г.С. Іванова, В.С. Обухової, О.Л. Підгорного,
А.М. Тевліна і ін.;
розв’язання багатьох прикладних проблем, пов’язаних із формуванням обводів і поверхонь, розробкою графічних алгоритмів і аналітичних описів їх у працях І.І. Котова, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, В.А. Осипова, А.В. Павлова, О.Л. Підгорного, Є.А. Стародетка, А.М. Тевліна, В.І. Якуніна і ін.;
розробка різноманітних питань математичного та програмного забезпечення систем автоматизованого проектування поверхонь у роботах В.Є. Михайленка, В.А. Осипова, М.М. Рижова, К.О.Сазонова і ін.;
чисельне розв’язання багатовимірних стаціонарних задач математичної фізики методами факторизації в працях А.А. Абрамова, В.Б. Андрєєва, І.М. Гельфонда, М.В. Келдиша, О.В. Локуциєвського і ін.;
метод адаптивної поліноміальної інтерполяції А.В.Найдиша.
Наукову новизну отриманих результатів складають:
1. Новий спосіб формування системи базисних ортонормованих функцій.
2. Новий спосіб побудови апроксимуючих кривих ліній і поверхонь у вигляді ряду за спеціальними ортонормованими поліномами, що дозволяє:
будувати поверхню заданого лінійного виду;
апроксимувати поверхні з особливостями при дотриманні заданих вимог;
апроксимувати поверхні на областях складної конфігурації при різноманітних критеріях наближення.
3. Новий підхід до моделювання процесів на основі їхніх диференціальних характеристик.
Практичне значення отриманих результатів. Практична цінність виконаних у роботі досліджень полягає в підвищенні точності моделювання, зниженні витрат на проектування за рахунок економії часу й одержання більш досконалих моделей. Розроблено інструкцію, що містить рекомендації по практичному використанню запропонованого способу і програмного забезпечення.
Запропонований у роботі спосіб і програмний продукт прогнозування розподілу поля температур у середині модифікованого ребра охолодження трапецієподібного профілю в двигунах МеМЗ, прийняті до впровадження в конструкторському бюро заводу МеМЗ (м. Мелітополь).
Розроблений автором алгоритм і програмне забезпечення для моделювання поверхонь на основі їхніх диференційно-геометричних характеристик прийняті до впровадження в ЗАТ СП “АвтоЗАЗ-ДЕУ” (м. Запоріжжя).
Практичні результати досліджень використані в навчальному процесі ТДАТА в курсах “Математичне моделювання в розрахунках на ЕОМ”, “Трактори й автомобілі” для підготовки магістрів.
Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблені теоретичні основи і складені алгоритми побудови апроксимуючих поверхонь на базі спеціальних наборів ортонормованих поліномів. Конкретний внесок у наукових статтях складається в розробці нового підходу до формування скалярного добутку функцій і побудові на цій основі нового способу апроксимації з урахуванням різних цільових критеріїв наближення. На базі запропонованого способу автором розроблено новий алгоритм розв’язання задачі Дирихле (дво- і тривимірної).
Апробація результатів дисертації. Апробація роботи проведена на V Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 1998 р.), основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на щорічних науково-методичних конференціях ТДАТА (м. Мелітополь, 1997, 1998, 1999), на Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 1998 р.), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп’ютерної графіки КНУБА під керівництвом акад. Михайленка В.Є. (м. Київ, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії НТУУ “КПІ” під керівництвом акад. Павлова А.В. (м. Київ, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії ДонДТУ під керівництвом проф. Скидана І.А. (Донецьк, 1998).
Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 9 друкарських робіт у міжвузівських і вузівських збірках наукових праць, визначених ВАК України фаховими.
Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури з 159 найменувань і додатка. Робота складається з 148 сторінок машинописного тексту, 34 рисунків, 6 таблиць.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовані актуальність дослідження, сформульовані мета, задачі, наукова новизна і практична цінність дослідницької роботи.
Розділ 1 присвячений аналізу відомих методів апроксимації кривих ліній і поверхонь.
Загальновідомі такі методи побудови геометричних моделей: інтерполяція, рівномірна апроксимація, середньоквадратична апроксимація і ін.
Інтерполяційні методи достатньо ефективні у випадку моделювання кривих ліній на невеликих відрізках при малій кількості вузлів, не обтяжених похибками.
Побудова полінома найкращого рівномірного наближення, незважаючи на достатньо розвинуту теорію, найчастіше стає неможливою. Тому обмежуються побудовою полінома як завгодно близького до нього. Крім того, геометричні моделі будуються частіше усього на основі емпіричних даних, що обтяжені похибками, і тому немає необхідності вимагати близькості апроксиманта і вихідної поверхні у всіх точках області завдання. Достатньо зажадати “інтегральної” близькості. Тому особливу роль набувають методи побудови апроксиманта середньоквадратичного наближення. Особливі значення мають апроксимуючі поверхні і криві, побудовані у вигляді ряду Фур’є
, (1)
де – спеціальний ортонормований базис, що відповідає аксіомам гільбертового простору.
Оскільки функції цього набору є ортонормованими, коефіцієнти у (1) знаходять за формулами
, (2)
де – скалярний добуток, визначений у цьому гільбертовому просторі, – первинна функція, яку апроксимують. Це дає ту перевагу, що не потрібно вирішувати систему рівнянь. Інакше, коли система має багато рівнянь і багато змінних, це викличе велику обчислювальну похибку.
Відомі деякі ортонормовані набори функцій однієї змінної (поліноми Чебишева, Ерміта, Лагера та ін.). За допомогою їх можна побудувати апроксиманти, що є рішеннями певних диференціальних рівнянь. Розкладення функції у вигляді відомого тригонометричного ряду Фур’є є також розкладення вигляду (1), де у якості ортогонального базису виступають функції . Властивості ортонормованості деяких відомих наборів функцій використовуються при розв’язанні багатьох прикладних задач (метод Крилова, метод Бубнова-Гальоркіна та ін.).
Але часто стикаються з проблемою, що не завжди є набір функцій, які є ортонормованими і в той же час відповідають лінійним (диференціальним) умовам, що накладають на апроксимант для побудови його у вигляді (1). Це суттєво обмежує коло задач, що вирішують за допомогою рядів Фур’є.
Для вирішення цієї проблеми у роботі пропонується використати процес ортогоналізації на базі повного лінійно-незалежного набору функцій (що відповідає визначеним у задачі лінійним або диференціальним властивостям) побудувати ортонормований набір , який буде мати ці ж властивості, і далі апроксимувати криву лінію (поверхню) за допомогою ряду (1).
При проведенні процесу ортогоналізіції необхідно визначити поняття скалярного добутку функцій у гільбертовому просторі. Поняття скалярного добутку досить широко розглядається для функцій однієї змінної, як звичайний інтеграл від добутку цих функцій. Але для функцій двох і більшої кількості змінних скалярний добуток у літературі практично не розглядається. Крім того, за допомогою скалярного добутку можна визначити метрику (“відстань” між двома функціями) простору, тому новий підхід до формування скалярного добутку функцій викликає особливий інтерес і набуває важливого значення. Традиційні форми скалярного добутку функцій не відповідають новим цільовим критеріям. Тому необхідно розробити теоретичні основи для використання нетрадиційних видів скалярного добутку, які будуть задовольняти цільовим критеріям нових задач, що диктує практика.
Таким чином необхідна розробка нового способу і обчислювального алгоритму побудови апроксимуючих моделей, який дозволить будувати криві лінії (поверхні) з заданими лінійними (диференціальними) властивостями при дотриманні відповідних цільових критеріїв.
У розділі 2 розглядається апроксимація кривих ліній і поверхонь у вигляді ряду Фур’є за спеціальним набором ортонормованих поліномів.
Одним із фундаментальних понять, на яких грунтується побудова геометричних моделей у вигляді (1) є поняття скалярного добутку функцій.
Взагалі, скалярним добутком двох елементів і лінійного простору називається деяка дійсна функція , що задовольняє аксіомам скалярного добутку:
1) ;
2) ; (3)
3) , де ;
4) , якщо .
Лінійний простір з визначеним у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором. У евклідовому просторі норма елемента визначається як
, (4)
а метрика (“відстань” між двома елементами простору)
. (5)
Таким чином скалярний добуток двох функцій даного евклідового простору визначає поняття “близькості” цих функцій. Отже скалярний добуток визначає цільовий критерій при побудові апроксимуючої моделі.
Зауважимо, що скалярний добуток – це бінарна операція, що ставить в однозначну відповідність двом елементам простору деякий скаляр за заданим правилом і задовольняє вимогам (3). Таким чином, можна в якості скалярного добутку пропонувати різноманітні операції, що задовольняють цим вимогам. А якщо скалярний добуток задовольняє також і вимогам цільового критерію задачі, що розв’язується, то можна побудувати апроксимуючу модель з урахуванням визначеного критерію “близькості”.
Так, наприклад, у просторі неперервних на функцій однієї змінної скалярний добуток це
. (6)
У роботі пропонуються такі форми скалярних добутків для функцій двох і трьох змінних, що задовольняють вимогам (3) і далі будуть використані при розв’язанні практичних задач.
Для функцій двох змінних це
, (7)
, (8)
де -область, на якій визначені функції, – крива, що обмежує цю область.
Для функцій трьох змінних, аналогічно, пропонуються дві форми скалярного добутку – поверхневий і об`ємний інтеграли
, (9)
, (10)
де – область, на якій визначені функції, – поверхня, яка обмежує .
Задавши скалярний добуток у даному евклідовому просторі , можна визначити його ортогональний базис.
Нехай заданий деякий набір функцій у евклідовому просторі . Якщо функції цього набору задовольняють умові , то такий набір є ортонормованим у значенні визначеного скалярного добутку. Якщо цей набір є повним, то він може служити ортонормованим базисом усього простору, і будь-який елемент із можна уявити у вигляді розкладання за цим базисом й у такий спосіб одержати апроксимуючу модель (1) для .
Але, якщо необхідний набір функцій, що задовольняє заданим лінійним властивостям, не є ортонормованим, то у роботі пропонується скористатися теоремою про ортогоналізацію. Суть цієї теореми складається в тому, що маючи будь-який лінійно незалежний набір можна отримати ортонормований набір виконавши процес ортогоналізації за рекурентними співвідношеннями Грама-Шмідта
(11)
де , .
Оскільки кожна функція з ортонормованого набору є лінійною комбінацією функцій первинного набору , то апроксимант, побудований у вигляді розкладення за таким ортонормованим базисом буде лінійною комбінацією функцій первинного базису , і таким чином він буде задовольняти лінійним властивостям цього базису.
Використовуючи в якості базового набору деяку повну лінійно незалежну послідовність функцій з визначеними лінійними властивостями і, визначивши скалярний добуток елементів цієї послідовності, можна побудувати необхідний ортонормований базис і апроксимуючу криву або поверхню, яка буде мати ті ж самі лінійні властивості, що й функції первинного набору і задовольняти критерію “близькості” до вихідної функції , що визначає заданий скалярний добуток.
Таким чином, пропонується конструювати моделюючий апарат відповідно до вимог задачі.
Отже, можна запропонувати такий спосіб побудови апроксимуючої геометричної моделі:
1. Побудувати повний базовий лінійно незалежний набір функцій, виходячи з лінійних вимог, що накладаються на апроксимант.
2. Визначити скалярний добуток функцій у залежності від цільового критерію “близькості”.
3. Побудувати ортонормований набір за формулами (11).
4. Побудувати апроксимант у вигляді розкладання за ортонормованим базисом (1).
5. Оцінити середньоквадратичну похибку за формулою
. (12)
У роботі доводиться, що для побудованого таким чином апроксиманта при середньоквадратична похибка .
Для побудови апроксимуючої поверхні в залежності від критерію наближення розглядаються такі два типа задач.
Задача 1. Побудувати апроксимуючу поверхню для деякої поверхні , на області ( – деяка замкнута однозв’язна обмежена область).
1. У якості базисного набору пропонуються функції вигляду
( ).
2. Скалярний добуток визначимо за формулою (7), тому що необхідна “близькість” апроксиманта до вихідної поверхні у всіх точках області.
3. Будуємо ортонормований набір і поверхню, що апроксимує у вигляді алгебраїчного полінома
(13)
де , .
Приклад (рис. 1).
Дано:
Задача 2. Побудувати поверхню , що з визначеною мірою близькості проходить через деяку просторову криву .
1. Пункт 1 повністю співпадає з відповідним пунктом задачі 1.
2. Скалярний добуток необхідно визначити як криволінійний інтеграл (8).
3. Ортонормований базис будується за допомогою формул (11).
4. Коефіцієнти для побудови поверхні знаходять із співвідношень
, (14)
де в якості функції виступає функція, що визначає просторову криву , якщо точки , тобто .
Приклад (рис. 2).
Дано:
При побудові апроксимуючої геометричної моделі для функцій, що залежать від трьох змінних , можливе рішення запропонованим способом таких двох типів задач.
Задача 3. Апроксимуюча функція “близька” до первинної у всіх точках області завдання функції.
Задача 4. Апроксимант збігається з вихідною функцією на поверхні , що обмежує об’єм , на якому визначена первинна функція.
При отриманні геометричної моделі для функцій трьох змінних запропонованим способом необхідно прийняти деякі заходи для побудови повного первинного лінійно незалежного набору функцій трьох змінних.
Справа в тому, що існує лінійно незалежних поліномів трьох змінних ступеня , які будемо позначати
(15)
У роботі пропонується алгоритм одержання лінійно незалежних поліномів. Суть алгоритму складається в наступному. Якщо деяку функцію в системі координат повернути разом із системою координат на кут навколо осі й одержати систему , потім навколо осі і навколо осі нової системи, то одержимо функцію відносно старої системи координат.
Якщо маємо набір кутів ( , ,), то повертаючи поліном на ці кути, можна одержати поліномів . У роботі доводиться, що таким чином можна отримати повний лінійно незалежний первинний набір , .
Алгоритм розв’язання задач 3 і 4 повністю відповідає пунктам загального способу і відрізняється тільки визначенням скалярного добутку функцій.
У першому випадку скалярний добуток – об’ємний інтеграл (9), у другому – поверхневий (10).
Ілюстрація можливостей запропонованого способу.
1. Запропонований спосіб дозволяє апроксимувати криві лінії і поверхні з особливостями, тому що на функцію, що наближається, накладається єдине обмеження – її неперервність на замкнутій обмеженій області.
Приклад (рис. 3).
Дано:
2. Якщо в якості базового набору запропонувати, приміром, функції вигляду , то можна побудувати апроксимант експоненційного виду . Загалом, для побудови апроксиманта визначеного виду необхідно узяти відповідний базовий набір.
3. У якості області можна розглядати непрямокутні області. Наприклад, для поверхні , що задана на трикутнику, можна побудувати апроксимуючу поверхню , якщо скалярний добуток – подвійний інтеграл по згаданій області.
Приклад (рис. 4).
Дано:
Ортонормовані поліноми, як це досліджено у роботі, незважаючи на те, що вони побудовані на різноманітних базових наборах і при різноманітних визначеннях скалярного добутку, володіють загальними властивостями (Рис.5,6):
1. Якщо область завдання функцій простору є симетричною відносно деякого центру, то функції ортонормованого базису мають центральну або осьову симетрію.
2. Інваріантність щодо паралельного переносу. Тобто, при довільному переносі початку системи координат, ортонормовані функції будуть мати попередній вигляд.
3. Фрактальний характер. Ортонормовані функції мають хвилеподібний характер, причому кількість максимумів і мінімумів строго залежить від показника ступеня поліному .
У розділі 3 пропонується розв’зання відомої задачі математичної фізики – задачі Дирихле, використовуючи запропонований спосіб побудови апроксимуючої поверхні.
Постановка задачі. Побудувати функцію , що задовольняє рівнянню Лапласа
(16)
на деякій області і збіжна в точках межі цієї області з деякою функцією, що називають межовою (граничною):
. (17)
Іншими словами, з геометричної точки зору, у двовимірному випадку необхідно побудувати поверхню, яка проходить через просторову криву, що характеризується граничною функцією (17), і задовольняє диференціальному рівнянню задачі (16).
Загальний алгоритм розв’язання задачі Дирихле:
1. Побудувати повний базовий набір , що задовольняє рівнянню (16) (набір гармонійних функцій).
2. Визначити скалярний добуток.
3. Побудувати ортонормований набір гармонійних функцій .
4. Представити граничну функцію у вигляді ряду Фур’є за ортонормованим гармонійним базисом й одержати рішення задачі у вигляді
де .
5. Середньоквадратична похибка апроксимації оцінюється за формулою
. (18)
Розглянемо цей алгоритм у випадку двох і трьох змінних детальніше.
У випадку двох змінних.
1. Доведено, що дійсна і уявна частини комплексної функції є гармонійними. Таким чином, повний первинний набір гармонійних функцій має вигляд
(19)
2. Скалярний добуток необхідно визначити як інтеграл по контуру межі області за формулою (8).
3. Використовуючи процес ортогоналізаціі (11), будуємо ортонормований базис гармонійних поліномів , за яким потім розкладаємо граничну функцію й одержуємо розв’язок двовимірної задачі Дирихле.
При розв’язанні тривимірної задачі Дирихле за визначеним алгоритмом необхідно:
1. Побудувати повний набір гармонійних поліномів трьох змінних.
Для цього треба використати алгоритм ортогонального повороту гармонійних поліномів на кути
, й одержати лінійно незалежних гармонійних поліномів трьох змінних для кожного . Таким чином, будується повний набір гармонійних поліномів трьох змінних.
2. Визначити скалярний добуток, як інтеграл по поверхні (9).
3. Провівши процес ортогоналізації, одержати повний ортонормований базис гармонійних функцій , що використовується потім при побудові апроксиманта для граничної функції й одержання розв’язку задачі.
У розділі 4 використовуючи запропонований спосіб побудови гармонійної поверхні, що проходить крізь задану просторову криву, пропонується розв’язання стаціонарної плоскої задачі теплопровідності на замкнутій обмеженій однозв’язній області.
Постановка задачі – необхідно розрахувати тепловий режим усередині плоского ребра охолодження якщо відома температура на межі цього ребра , де (Рис.7).
Використовуючи алгоритм рішення двовимірної задачі Дирихле визначається поверхня , яка і задає поле температур усередині ребра (рис.8).
Для зменшення обчислювальної похибки, що виникає у результаті програмної реалізації, прийняті такі засоби:
1. Розроблено спеціальний обчислювальний алгоритм.
2. Усі первинні дані визначені так, щоб інтеграли, необхідні для розрахунків, були визначені точно аналітично.
3. Максимально використані можливості символьного програмування, що надає пакет Maple V.
Базуючись на теоремі про максимум і мінімум гармонійної функції в роботі дається оцінка середньоквадратичної і абсолютної похибки
, .
Абсолютна похибка отриманого рішення не перевищує 3,5%. Для зменшення похибки необхідно проводити апроксимацію поліномами більш високих ступенів.
ВИСНОВКИ
На підставі приведених у роботі досліджень вирішена важлива народногосподарська задача підвищення точності геометричного моделювання поверхонь, явищ та процесів на основі побудови апроксимуючої моделі у вигляді спеціального ряду Фур’є.
Для цього розроблений новий спосіб апроксимації кривих ліній і поверхонь за допомогою спеціальних ортонормованих поліномів, обчислювальний алгоритм для побудови ортонормованих поліномів на основі особливого набору лінійно незалежних базисних функцій, здійснена програмна реалізація запропонованого способу. На базі запропонованого способу розроблений новий алгоритм і здійснена програмна реалізація розв’язання задач моделювання процесів на основі їхніх диференціальних критеріїв на прикладі дво- і тривимірної задачі Дирихле.
Значення для науки запропонованого способу в тому, що він розвиває теорію розв’язання різноманітних прикладних задач методами геометричного моделювання в напрямку використання апроксимуючих рядів за спеціальними наборами ортонормованих поліномів.
Використання отриманих результатів у наукових дослідженнях доцільно при розробці нових методів геометричного моделювання за новими критеріями наближення з урахуванням наперед заданих вимог, що накладаються на апроксимант.
Значення для практики полягає в нових можливостях підвищення точності на основі більш ефективного розв’язання прикладних задач геометричного моделювання. Використання отриманих результатів у практиці доцільно при побудові геометричних моделей заданого виду на основі експериментальних даних з урахуванням заданих диференціальних і лінійних характеристик.
Загальні висновки по роботі:
1. Подальший розвиток теорії і практики геометричного моделювання вимагає розв’язання наступних проблем:
ускладнення процесів потребує розробки нових підходів до побудови геометричних моделей з урахуванням різноманітних критеріїв наближення;
для зменшення обчислювальної похибки необхідна розробка спеціального обчислювального алгоритму;
програмна і машинна реалізація не орієнтована на можливості сучасної обчислювальної техніки.
2. Шляхом вирішення згаданих проблем є побудова апроксимуючої поверхні у вигляді ряду Фур’є за спеціальним ортонормованим базисом гільбертового простору.
3. Розроблені спеціальні обчислювальні алгоритми для реалізації запропонованого способу, що дозволяє знизити обчислювальну похибку.
4. Запропонований у роботі спосіб дозволяє підвищити точність моделювання і скоротити терміни проектування.
5. Приведені в роботі тестові приклади і розрахунки конкретних задач підтверджують достовірність теоретичних результатів.
6. Запропонований у роботі спосіб, отримані на його основі моделі і програмне забезпечення прийняті до впровадження в ЗАО СП “АвтоЗАЗ-ДЕУ” (м. Запоріжжя), КЕО МеМЗ (м. Мелітополь), у навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь).
7. Подальший розвиток запропонованого в роботі способу можливий в напрямку розширення кола прикладних задач геометричного моделювання і задач моделювання процесів математичної фізики (нестаціонарні задачі, задачі теорії пружності, неоднорідні задачі), і розробці на їхній основі нових обчислювальних способів і алгоритмів.
Основні положення дисертації опубліковані в таких роботах
1. Найдыш В.М., Малкина В.М. Аппроксимация гармонических функций ортонормированными полиномами.// Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып. 4, т. 1, Мелитополь, 1997, с. 10-12.
2. Титаренко М.С., Малкина В.М. Доказательство сходимости разложения по ортонормированным полиномам.// Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып. 4, т. 1, Мелитополь, 1997, с. 84-86.
3. Найдиш В.М., Малкіна В.М. Апроксимація функцій ортонормованими поліномами особливого виду. // Прикл. геом. та інж. графіка. К.:1998, вип. 63, с. 26-29.
4. Малкина В.М. Исследование элементарных свойств ортонормированных функций. //Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып. 4, т. 3, Мелитополь, 1998, с. 115-119.
5. Малкина В.М. Построение поверхности, проходящей через заданную пространственную кривую. // Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып. 4, т.5, Мелитополь, 1999, с. 105-107.
6. Малкіна В.М. Апроксимація функцій двох змінних. //Прикл. геом. та інж. графіка. К.:1999, вип. 65.
7. Найдыш А.В., Малкина В.М. Прогнозирование поля температур внутри ребра трапецевидного профиля. //Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып. 2, т. 8, Мелитополь, 1999, с. 19-22.
8. Найдыш А.В., Малкина В.М. Аппроксимация непрерывных кривых полиномами различного вида. //Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып. 4, т. 6, Мелитополь, 1999, с. 51-53.
9. Малкина В.М. Построение гармонического аппроксиманта на области в виде круга. //Тр. Таврич. гос. агротехн. акад., вып.4, т.8, Мелитополь, 1999,с.57-59.
Малкіна В.М. Геометричне моделювання поверхонь на основі спеціальних систем ортонормованих поліномів. – Рукопис.
Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01. – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Київський національний університет будівництва і архітектури, Україна, Київ, 1999 р.
Дисертація присвячена питанням побудови геометричних моделей за допомогою спеціальної системи ортонормованих поліномів. У роботі пропонується новий спосіб побудови апроксимуючих кривих ліній і поверхонь на основі геометричної моделі у вигляді ряду Фур’є за особливим ортонормованим базисом. Запропонований спосіб дозволяє апроксимувати криві лінії і поверхні з особливостями при дотриманні різноманітних критеріїв наближення. На базі запропонованого способу розроблений новий підхід до моделювання процесів на основі їхніх диференціальних характеристик, що дозволяє вирішити задачу Дирихле. У роботі розроблений спеціальний обчислювальний алгоритм, що дозволяє знизити обчислювальну похибку. Основні результати роботи знайшли виробниче застосування в проектуванні системи охолодження автомобільних двигунів.
Ключові слова: геометрична модель, система ортонормованих функцій, апроксимуюча крива і поверхня, обчислювальний алгоритм, задача Дирихле.
Малкина В.М. Геометрическое моделирование поверхностей на основе специальных систем ортонормированных полиномов. – Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01. – Прикладная геометрия, инженерная графика. – Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Украина, Киев, 1999 г.
Диссертация посвящена вопросам построения геометрических моделей с помощью специальной системы ортогональных полиномов. В работе предлагается новый способ построения аппроксимирующих кривых линий и поверхностей, обладающих заданными линейными свойствами с учетом различных целевых критериев на основе построения геометрической модели в виде ряда Фурье по особому ортонормированному базису. Благодаря новому подходу к формированию скалярного произведения функций, строится аппроксимирующая функция в соответствии с критерием “близости”, который диктуют условия задачи. Суть способа заключается в следующем – построить полный линейно независимый набор базовых функций, в соответствии с линейными требованиями, которые накладываются на аппроксимант; определить скалярное произведение в соответствии с целевым критерием “близости функций” задачи; построить базис ортонормированных функций проведя процесс ортогонализации на базовом наборе функций в смысле определенного скалярного произведения и построить аппроксимант в виде ряда Фурье по сформированному базису.
Предложенный способ позволяет решать задачи построения аппроксимирующей поверхности (кривой), которые обладают определенной спецификой, а именно: особые, специальные критерии приближения (например, “интегральная близость” аппроксиманта к приближаемой кривой или поверхности лишь в точках границы области приближения, в отличие от традиционной меры “близости” – в каждой точке области приближения); нетрадиционные виды аппроксиманта (использование экспоненциальной, или смешанной – алгебраическо-тригонометрической, экспоненциально-тригонометрической и иных видов аппроксимирующих функций, поскольку общие алгоритмы построения алгебраических или тригонометрических полиномов могут давать большую вычислительную погрешность сложной природы); приближение кривых линий и поверхностей с особенностями (например таких, которые не являются гладкими); построение поверхности по определенным условиям (удовлетворение определенному дифференциальному уравнению, инцидентность заданной пространственной кривой и т.д.); аппроксимация поверхности, заданной на области сложной конфигурации.
На базе предложенного способа разработан новый подход к моделированию процессов на основе их дифференциальных характеристик. Используя предложенный способ, строится гармоническая поверхность, проходящей через заданную пространственную кривую, и таким образом решается задача Дирихле. Практическим применением разработанного способа является решение плоской стационарной задачи теплопроводности на замкнутой ограниченной односвязной области.
Для уменьшения вычислительной погрешности, которая возникает в результате программной реализации, принятые такие меры: разработан специальный вычислительный алгоритм; все первичные данные определены так, чтобы интегралы, необходимые для расчетов, определялись точно аналитически; максимально использованы возможности символьного программирования, которые предоставляет пакет Maple V.
Предложенный в роботе способ, полученные на его основе модели и программное обеспечение приняты к внедрению в ЗАО СП “АвтоЗАЗ-ДЭУ” (г. Запорожье), КЭО МеМЗ (г. Мелитополь), в учебном процессе Таврической государственной агротехнической академии (г. Мелитополь).
Ключевые слова: геометрическая модель, система ортонормированных функций, аппроксимирующая кривая и поверхность, вычислительный алгоритм, задача Дирихле.
Malkina V.M. Geometrical modelling of surfaces on the basis of special systems orthonormal polinoms. – Manuscript.
The dissertation on cosearching a teaching degree of the candidate of technical sciences on a speciality 05.01.01. – Applied geometry, engineering graphics.- Kiev National University of Building and Architecture, Ukraine, Kiev, 1999.
The dissertation is devoted to questions of construction of geometrical models with the help of the special system of orthonormal polinoms. In work the new method of construction of approximate of curve lines and surfaces by a method of representation of the initial data as a number (line) Furier series on a special orthonormal to basis is offered. The offered method allows approximate curve lines and surfaces with features with observance of criterions of approximation. On the basis of the offered method the new approach of modelling of processes is developed on the basis of their differential characteristics allowing solving a task Diriсhlet. In work the special computing algorithm allowing lowering a computing error is developed. The basic results of work have found industrial application in designing system of cooling of automobile engines.
Key words: geometrical model, orthonormnal system of functions, approximate a curve and surface, computing algorithm, task Dirichlet.
Підписано до друку 15.07.99. Формат 21х31. Умовн. др. а. 1,0. Папір фінський.
Гарнітура Times ET. Тираж 100 прим. Замовл. № 613. Надруковано на ризографі ТДАТА.
332339, м. Мелітополь
пр. Б. Хмельницького, 18
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
